角函数逼近快速算法(正余弦)

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1、三角函数逼近快速算法(正余弦)原文出自：http://lab.polygonal.de/2007/07/18/fast-and-accurate-sinecosine-approximation/里面提到了查表，采用查表并配合插值；以及泰勒级数看过第一篇的文章后，大呼过瘾！原文作者的思路非常简捷，有趣，偶英语比较差，欢迎指正，废话不多说看文章原文出处：http://www.devmaster.net/forums/showthread.php?t=5784http://lab.polygonal.de/2007/0

2、7/18/fast-and-accurate-sinecosine-approximation/在某些情况下我们需要一些更高效的且近似于标准值的sin和cos函数。有时候我们并需要过高的精度，这时C语言中自带的三角函数（sinf()和cosf()f）计算的精度超出了我们所需要的精度要求，所以其效率很低。我们真正需要的是间于精度和效率的一个折中的方案。众所周知的取近似值的方法是：泰勒级数（和著名的马克劳林级数）代码是：x-1/6x^3+1/120x^5-1/5040x^7+...我们绘制了下图:绿线是标准的sin函数

3、，红线是4项泰勒级数展开式。这个近似值的效果看起来还不错，但是如果你仔细观察后会发现它在pi/2之前的效果还是很好的，但是超过了pi/2后就开始快速偏离标准sin。它在pi处的值比原来的0多了0.075.用这个方法来模拟波动忽动忽停，看起来很呆板，这个效果当然不是我们想要的。我们可以继续增加泰勒级数项的个数来减小误差，但是这将导致我们的公式非常的冗长。用4项的泰勒级数展开式需要我们进行7次乘法和3次加法来完成。泰勒级数不能同时满足我对精度和效率的要求。刚刚近似如果能满足sin（pi）=0就好了。从上图我还可以发现另

4、一件事：这个曲线看起来很象抛物线！所以我们来寻找一个尽可能和sin接近的抛物线（公式）。抛物线的范式方程是：A+Bx+Cx^2.这个公式可以让们控制三个自由度。显然我们需要其满足sine(0)=0,sine(pi/2)=1andsine(pi)=0.这样我们就得到了3个等式。A+B0+C0^2=0A+Bpi/2+C(pi/2)^2=1A+Bpi+Cpi^2=0解得：A=0,B=4/pi,C=-4/pi^2.我们的抛物线诞生啦！貌似这个的误差看起来比泰勒级数还要遭。其实不是的！这种方法的最大误差是0.056.（译者：

5、而且这种近似值没有误差积累）而且这个近似值的绘制出的波动是光滑的，而且只需要3次乘法和一次加法。不过它还不够完美。下图是[-pi,pi]之间的图像：显然我们至少需要它在1个完整的周期内都符合我们要求。但是我们可以看出，我们缺少的另一半是原抛物线的一个映射。它的公式是：4/pix+4/pi^2x^2。所以我们可以直接这样写：Code:if(x>0){y=4/pix-4/pi^2x^2;}else{y=4/pix+4/pi^2x^2;}添加一个条件分支不是一个好的方法。它会让程序渐渐的变慢。但是观察一下我们模拟的和标准

6、的图像是多么的接近啊！观察上面两式子，只是中间的一项正负号不同，我的第一个单纯的想法是可以提取x的正负号来消除分支，即使用：x/abs(x)。除法的代价是非常大的，我们来观察一下现在的公式：4/pix-x/abs(x)4/pi^2x^2。将除法化简后我们得到：4/pix-4/pi^2xabs(x).所以只需要多一步运算我们就得到了我们需要的sin逼近值！下图是结果接下来我们要考虑cos。有基础的三角公理可以知道：cos(x)=sin(pi/2+x).把x多加一个pi/2就可以搞定了？事实上它的某一部分不是我们期望得

7、到的。我们需要做的就是当x>pi/2时“跳回”。这个可以由减去2pi来实现。Code:x+=pi/2; if(x>pi)//Originalx>pi/2{x-=2*pi;//Wrap:cos(x)=cos(x-2pi)} y=sine(x);又出现了一个分支，我们可以用逻辑“与”来消除它，像是这样：x-=(x>pi)&(2*pi);Code:x-=(x>pi)&(2*pi);注意这并不是c的源代码。但是这个应该可以说明它是怎么样运行的。当x>pi是false时，逻辑“与”（&）运算后得到的是0，也就是（x-=0）大

8、小没有改变，哈哈完美的等价!我会给读这篇文章的读者留一些关于这个练习。虽然cos比sin需要多一些运算，但是相比之下貌似也没有更好方法可以让程序更快了。现在我们的最大误差是0.056，四项泰勒级数展开式每一次都会有一点点误差。再来看看我们sin函数：现在是不是不能继续提升精准度了呢？当前的版本已经可以满足大多度sin函数的应用了。但是对一些要求更高一些的程序