函数逼近与快速Fourier变换

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1、13.5有理逼近3.5.1有理逼近与连分式有理函数逼近是指用形如的函数逼近与前面讨论一样，如果最小就可得到最佳有理一致逼近.（5.1）2如果最小则可得到最佳有理平方逼近函数.本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法.对函数用泰勒展开得（5.2）取部分和3另一方面若对（5.2）式用辗转相除可得到的一种连分式展开（5.3）4（5.4）（5.3）右端为的无穷连分式的前5项，最后式子若取（5.3）的前2，4，6，8项，则可分别得到的以下有理逼近是它的紧凑形式.5若用同样多项的泰勒展开部分和逼近并计算处的值及，计算结果见表3-3.的准确值为从表3-3可以看出，6但它们的计算

2、量是相当的，这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.由此看出的精度比高出近10万倍，例11用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式.解给出有理函数用辗转相除可逐步得到7本例中用连分式计算的值只需3次除法，1次乘法和7次加法.8若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次除法及7次加法.可见将化成连分式可节省计算乘除法次数.对一般的有理函数（7.1）可转化为一个连分式它的乘除法运算只需次.而直接用有理函数（7.1）计算乘除法次数为次.93.5.2帕德（Pade）逼近利用函数的泰勒展开可以得到它的有理逼近.设在的泰勒展开为（5.5）它的部分和记作（5.6）10定义8设其中无公因

3、式，且满足条件（5.8）则称为函数在处的阶帕德逼近，记作,简称的帕德逼近.如果有理函数（5.7）11根据定义，若令则满足条件（7.8）等价于即由于应用莱布尼兹求导公式得12这里是由（7.6）得到的，上式两端除，并由可得（5.9）及（5.10）注意当时故（5.10）可写成13（5.11）其中时，若记（5.12）14则方程组（5.11）的矩阵形式为定理10（5.7）的有理函数是的阶帕德逼近的充分必要条件是多项式的系数及满足方程组（5.9）及（5.11）.设则形如15根据定理10,求的帕德逼近时，首先要由（5.11）解出的系数，的系数.的各阶帕德逼近可列成再由（5.9）直接算出一张

4、表，称为帕德表（见表3-4）.16例12求的帕德逼近及.解由的泰勒展开得当时，由（5.11）得求得再由（5.9）得17于是得当时，由（5.11）得18代入（5.9）得解得于是得19可以看到这里得到的及与的前面为了求帕德逼近的误差估计，由(5.9)及(5.11)求得的系数及，直接代入则得将除上式两端，即得连分式展开得到的有理逼近（5.4）结果一样.20（5.13）其中当时可得误差近似表达式213.6最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换当是周期函数时，显然用三角多项式逼近比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换，简称FFT算法.223.6.1最佳平

5、方三角逼近与三角插值设是以为周期的平方可积函数，用三角多项式（6.1）做最佳平方逼近函数.由于三角函数族在上是正交函数族，于是在上的最小平方三角逼近多项式的系数是23称为傅里叶系数.函数按傅里叶系数展开得到的级数（6.3）就称为傅里叶级数.（6.2）24只要在上分段连续，则级数（6.3）一致收敛到.对于最佳平方逼近多项式（6.1）有由此可以得到相应于（4.11）的贝塞尔不等式因为右边不依赖于，左边单调有界，所以级数25当只在给定的离散点集上已知时，则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数.下面只给出奇数个点的情形.收敛，并有26可以证明对任何成立令27这表明函

6、数族在点集上正交.若令则的最小二其中乘三角逼近为28当时于是（6.4）就是三角插值多项式，系数仍由（6.4）表示.29由于所以函数族在区间上是正交的.一般情形，假定是以为周期的复函数，给定在个等分点上的值函数在等距点集上的值组成的向量记作30当时，个复向量具有如下正交性：（6.5）31事实上，令于是即若若则有则从而32于是若这就证明了（6.5）成立.即是正交的.则于是因此，在个点上的最小二乘傅里叶逼近为33（6.6）其中（6.7）在（6.6）中，若，则为在点上的插值函数，于是由（6.6）得即（6.8）34（6.7）是由求的过程，称为的离散而（6.8）是由求的过程，称为反变换.

7、傅里叶变换.简称DFT，353.6.2N点DFT与快速傅氏变换（FFT）不论是按（6.7）式由求，由求，（6.9）其中(正变换)或(反变换)，还是由（6.4）计算傅里叶逼近系数都可归结为计算是已知复数序列.或是按（6.8）36当较大且处理数据很多时，就是用高速的电子计算机，很多实际问题仍然无法计算，如直接用（6.9）计算，需要次复数乘法和次复数加法，称为个操作，计算全部共要个操作.1965年产生了FFT算法，大大提高了运算速度，从而使DFT得到广泛的应用.FFT算法的基本思想就是尽量减少乘法次数.37用