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1、第3章函数逼近与快速傅里叶变换3.1函数逼近的基本概念3.2正交多项式3.3最佳平方逼近3.4曲线拟和的最小二乘法3.5*有理逼近3.6*三角逼近与快速傅里叶变换本章基本内容在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题.第2章讨论的插值法就是函数逼近的一种.3.1函数逼近的基本概念3.1.1函数逼近与函数空间本章讨论的函数逼近，是指“对函数
2、类A中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)∈B，使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小”.函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]，称为函数逼近空间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分段低次多项式等.为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识.数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。例1所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成实数域R上的线性空间---Rn,称为
3、n维向量空间.例2对次数不超过n的（n为正整数）实系数多项式全体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线性空间--Hn,称为多项式空间.例3所有定义在[a,b]集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成数域R上的连续函数线性空间–C[a,b],称为连续函数空间.类似地记Cp[a,b]为具有p阶连续导数的函数空间.则称x1,x2,…,xn线性相关，否则称x1,x2,…,xn线性无关，即只有当a1=a2=…=an=0时等式(1.1)才成立.定义1设集合S是数域P上的线性空间，元素x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a
4、1,a2,…,an∈P，使得(1.1)则x1,…,xn称为空间S的一组基,记为S=span{x1,…,xn},并称空间S为n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下的坐标，记作(a1,…,an)，如果S中有无限多个线性无关元素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.若线性空间S是由n个线性无关元素x1,…,xn生成的，即对任意x∈S，都有它由n+1个系数(a0,a1,…,an)唯一确定.1,x,…,xn线性无关，它是Hn的一组基，故集合Hn=span{1,x,…,xn}，且(a0,a1,…,an)是p(x)的坐标
5、向量，Hn是n+1维的.下面考虑次数不超过n实系数多项式集合Hn，其元素p(x)∈Hn表示为其中ε为任意给的小正数，即精度要求.这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.对连续函数f(x)∈C[a,b]，它不能用有限个线性无关的函数表示，故C[a,b]是无限维的，但它的任一元素f(x)∈C[a,b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使误差在[a,b]上一致成立.（证明略，见书p52有说明.）定理1设f(x)∈C[a,b]，则对任何ε>0，总存在一个代数多项式p(x)，使由(1.3)式给出的Bn(f,x)也是f
6、(x)在[0,1]上的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.更一般地，可用一组在C[a,b]上线性无关的函数集合来逼近f(x)∈C[a,b]，元素表示为函数逼近问题就是对任何f(x)∈C[a,b]，在子空间中找一个元素*(x)∈，使f(x)-*(x)在某种意义下最小.3.1.2范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直接推广.定义2设S为线性空间，xS，若存在唯一实数·，满足条件：(1)x0;当且仅当x＝0时,x=0;(正定性
7、)(2)x=
8、
9、x,R;(齐次性)(3)x+yx+y,x,yS.(三角不等式)则称·为线性空间S上的范数，S与·一起称为赋范线性空间，记为X.对Rn上的向量x＝(x1,x2,…,xn)T,三种常用范数为：类似的对连续函数空间C[a,b],若f∈C[a,b]可定义以下三种常用函数的范数可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.3.1.3内积与内积空间在线性代数中，Rn上的两个向量x＝(x1,x2,…,xn)T与y＝(y1,y2,…,yn)T的内积定义为(x
10、,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn.(1.5)若将它推广到一般的线性空间X，则有下面的定义.定义3设X是数域K(R或C)上的线性空间，对任意u,v∈X，有K中一个数与之对应，记为(u,v)，它满足以下条件：则称(u,v)为X上u与v的内积，对应了内积的线性空间称为内积空
