第三章2 函数逼近与快速Fourier变换3.3~3.4.ppt

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1、13.3最佳平方逼近23.3.1最佳平方逼近及其计算对及中的一个子集若存在，使（3.1）则称是在子集中的最佳平方逼近函数.3由（3.1）可知该问题等价于求多元函数（3.2）的最小值.是关于的二次函数，即利用多元函数求极值的必要条件4于是有（3.3）这个关于的线性方程组，称为法方程.由于线性无关，故于是方程组（4.3）有唯一解从而得到5即对任何下面证明满足（4.1），（3.4）为此只要考虑有6由于的系数是方程（3.3）的解，从而上式第二个积分为0，故（3.4）成立.这就证明了是在中的最佳平方逼近函数.故于是7若令若取中求次最佳平方逼近多项式（4.5

2、）则平方误差为则要在8此时若用表示对应的矩阵，（4.6）称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.即9记（3.7）的解即为所求.则10例6设求上的一次最佳平方解得方程组逼近多项式.利用（3.7），得11解之故平方误差最大误差123.3.2用正交函数族作最佳平方逼近设若是满足条件(2.2)的正交函数族，而故法方程（3.3）的系数矩阵则13为非奇异对角阵，（3.8）于是在中的最佳平方逼近函数为（3.9）且方程（3.3）的解为14由（3.5）可得均方误差为（3.10）由此可得贝塞尔(Bessel)不等式（3.11）15若，按正交函数族展开，（3.12）称这个

3、级数为的广义傅里叶(Foureir)级数，讨论特殊情况，设是正交多项式，可由正交化得到，则有下面的收敛定理.得级数系数按（3.8）计算，系数称为广义傅里叶系数.它是傅里叶级数的直接推广.16定理8设考虑函数（3.13）的最佳平方逼近多项式，是由（3.9）给出的其中是正交多项式族，则有展开，由(3.8)，(3.9)可得按勒让德多项式17根据均方误差公式(3.10)，平方误差为（4.15）由定理8可得其中（4.14）18如果满足光滑性条件,还有一致收敛于的结论.公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式，定理9则对任意和当充分大时有设由(3.13)给

4、出，它具有以下性质.19证明设是任意一个最高次项系数为1的次定理10勒让德多项式在上与零的平方误差最小.在所有最高次项系数为1的次多项式中，多项式，它可表示为20于是当且仅当时等号才成立，即当时平方误差最小.21例7求在上的三次最佳平方逼近多项式.解先计算22由傅里叶系数计算公式(3.14)得代入(3.13)得三次最佳平方逼近多项式23最大误差如果求上的最佳平方逼近多项式，均方误差做变换24于是在上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式从而得到区间上的最佳平方逼近多项式25直接通过解法方程得到中的最佳平方逼近多项式是一致的.由于勒让德多项式是在区间

5、上由只是当较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式.正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由263.4曲线拟合的最小二乘法3.4.1最小二乘法及其计算在函数的最佳平方逼近中如果只在一组离散点集上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合.27记误差则的各分量分别为个数据点上的误差.问题为利用求出一个函数与所给数据拟合.28设是上线性无关函数族，在中找一函数，使误差平方和（4.1）这里（4.2）29这个问题称为最小二乘逼

6、近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定的形式.确定的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.30为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和（4.3）这里是上的权函数，它表示不同点处的数据比重不同.就是次多项式.若是次多项式，的一般表达式为（4.2）表示的线性形式.31这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4.4）的极小点问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(4.2)的中求一函数，由求多元函数极

7、值的必要条件，有使（4.3）取得最小.32若记（4.5）上式可改写为（4.6）这方程称为法方程，可写成矩阵形式33其中（4.7）而在上线性无关不能推出要使法方程(4.6)有唯一解，就要求矩阵非奇异，矩阵非奇异，必须加上另外的条件.34哈尔条件，则法方程(4.6)的系数矩阵(4.7)非奇异，显然在任意个点上满足哈尔条件.如果在上满足函数的最小二乘解为定义10设的任意线则称在点集性组合在点集上至多只有个不同的零点，上满足哈尔(Haar)条件.方程(4.6)存在唯一的解从而得到于是35这样得到的，对任何形如(4.2)的，都有故确是所求最小二乘解.36一般可

8、取，但这样做当时，通常对的简单情形都可通过求法方程（4.6）得到给定的离散数据，有时根据给定数据图形，其拟合