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《2011届高三数学椭圆的简单几何性质18.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2011届高三数学椭圆的简单几何性质1822椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备教学重点:椭圆的几何性质通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解教学方法：讲授法型：新授教学工具：多媒体设备一、复习：1椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距2椭圆的标准方程二、讲授新：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力[在解析几何里，是利
2、用曲线的方程研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程研究其几何性质]已知椭圆的标准方程为：1范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，的范围就知道了]问题1方程中x、的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,)都适合不等式≤1,≤1即x2≤a2,2≤b2所以
3、x
4、≤a，
5、
6、≤b即－a≤x≤a,－b≤≤b这说明椭圆位于直线x＝±a,＝±b所围成的矩形里。2对称性复习关于x轴，轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,）关于x轴对称的点的坐标为(x,－)；点（x,）关于轴对称的点的坐标为(－x,
7、)；点（x,）关于原点对称的点的坐标为(－x,－)；问题2在椭圆的标准方程中①以－代②以－x代x③同时以－x代x、以－代,你有什么发现?（1）在曲线的方程里，如果以－代方程不变，那么当点P(x,)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于轴对称。]（3）如果同时以－x代x、以－代，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。]归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？椭圆关于x轴，轴和原点都是对称的。这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]椭圆的对称
8、中心是什么？[原点]椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3顶点[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，轴的交点坐标]问题3怎样求曲线与x轴、轴的交点?在椭圆的标准方程里，令x=0,得=±b。这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与轴的两个交点。令=0,得x=±a。这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴，轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长
9、A1A2
10、=2a,
11、B1B2
12、=2b(a
13、和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即
14、B1F1
15、=
16、B1F2
17、=
18、B2F1
19、=
20、B2F2
21、=a在Rt△B2F2中，由勾股定理有
22、F2
23、2=
24、B2F2
25、2－
26、B2
27、2，即2＝a2－b2这就是在前面一节里，我们令a2－2＝b2的几何意义。4离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率。因为a>>0,所以0<e<1问题4观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?[调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形
28、状的影响]得出结论：(1)e越接近1时，则越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；(2)e越接近0时，则越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a＝b时，＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生后思考]例题例1求椭圆16x2+22=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]解：把已知方程化为标准方程,这
29、里a＝，b＝4，所以＝＝3因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8离心率e＝＝两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)，四个顶点分别是A1(－,0)A1(,0)A1(0,－4)F1(0,4)[提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。]将已知方程变形为，根据在0≤x≤的范围内算出几个点的坐标(x,)x012344393732240先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简
