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《多元函数微分学题目简析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、暑期培钏（多元函数微分学》一、多元函数的偏导数1.f（x，y）可微，f（0,0）=0，/:、:（0,0）=/"，fy（0,0）=n,（p、t、=/仏/•（＞,幻），求识（0）。知识点：抽象的S合函数求偏导关键：理清函数结构?答案：m+mn+rr难度：易2.z=z（x，y）由f（y-x，yz）=0所确定，f对各变量的二阶偏导函数连续，求dxdx—知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导关键：理清函数结构答案：5~=一^，人=//（＞—又，尸），人Z=//（＞—又，；VZ）;如#2d^Zdx2难度：易3.z=f(x+y+z，xyz)dzdxdy求知识点：抽象的复合函数求偏导
2、关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是Z，也可以是％或者答案•dz=f(+yzf[•如=+xzfl如二Y-f;-xyfl’办fX’如fi+xzfi难度：易4.z=f(x，y)在(0,1)的某邻域内可微，且f{x,，+1)=1+2x+3y+0{p)，p=yjx2+y2，一元函数y(x)由f(x，y)=l所确定，求y’（0）知识点：多元函数全微分的定义关键：找到两个已知条件：“z=f（x，y）在（0,1）的某邻域內可微”与“f(x,y+)=+2x+3y+0(/7)，p=yjx2+y2之间的联系，从而从已知条件中发现求y所需要
3、的东两。2答案：一一3难度：中5.u=f(xyz),U=F(r),t=xyz,F^-dxdyoz知识点：3元的抽象的fi合函数求偏导关键：理清函数结构+耐心难度.•易6-u+e11=，确定/W=)’),求.知识点：隐函数求偏导关键：求出的表达式，明确(义,j)二(1，1)时w=?3x3)，d2z答案:ft)+3tf/,(t)+t2f3)(t).难度：易7.z=xf(-)+(%-l)/Inf二阶可微，求x2xdx^知识点：抽象的复合函数求偏导关键：处理好/(—)X答案:(X+I)y.难度：易8.又2+y2+z2二《xy/(z2)，/可微，求axoy知识点：抽象的复合
4、函数求偏导关键：理淸函数结构、处理好/(z2)答案:i-w）难度：易9.^（w，v，w）有二阶连续偏导数，z=z（«r，;y）由—=0_dz.dz所确定，’）f+/5、函数求偏导关键：计算量大，需仔细整理；遇到^/又2+>’2写成r;使用轮换对称性可减少一半的工作量。难度：屮12.z=z（x,y）由尸（z+丄，z—1）=0所确定，F有连续的二阶偏导，且7?:("，r)+人u，r)矣0,证明:(1)3zd2zd2zdxdv0；(2)?+xy{x+y)二一+y3d2zdxdxdy知识点：隐函数求偏导关键:用表示爭普、
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9、及d2z3x3)，答案：证明略难度：屮。13.u=u(x,一阶连续偏导数，=0,w(x,2x)=x,wv(x,2x)=x2.求(x，2xuxy(x,2xuyy{x,2x).知识点：抽象函数求偏导关键：对偏
10、导符号的理解；需明白对于一个抽象函数z=/Cv，2x；)，显然3z—=/i+2/2,j、f，的函数结构与/的相同。ax"-45答案：wu(x,2x)=uyv(x,2x)=——xuxy(x,2x)=-x.33难度：屮14.Kv，)’)有二阶连续偏导数，f^fyy-2fxfyfyy+=0,fy0.}=}<¥，2)是由2=/U，/)所确定的函数，求△dx2.知识点：抽象函数求偏导关键：1.三个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是，，也可以是x或此题选择y为酸量，因此在求#过程中视3a：z为常数；2.对偏导符号的理解；3•对于一个抽象函
11、数f(x,y),显然/x、/v的函数结构与/的相同;4.注意到/Cx，y)有二阶连续偏导数，所以./；.、,=/vx.答案：0.难度：中15.已知/(a，Z)’，广2)=,"/(又,3;，2)，对？〉0均成立，证明:(1)f(x9y9z)=xri/(l^^).XX(2)x/v(x,j,z)+kyfy(x,y,z)+mzfz(x,y,z)=nf(x,y,z).知识点：抽象函数求偏导关键：对偏导符号的理解提示：(1)己知条件屮令f=x(2)已知等式两边对Z求导，再令f=l即可。难度：中。二、偏导数恒等式的坐标变换1.z=z(x,y)有二阶连续偏导数，u=x-2y,v
