[工学]5第五章梁弯曲时的位移

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1、第五章梁弯曲时的位移1梁的位移—挠度，转角的概念2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(重点)3叠加法计算梁的挠度和转角4梁的刚度条件5提高梁刚度的措施1梁的位移—挠度、转角的概念弯曲变形：梁在垂直于其轴线的荷载作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。FAFBABFqMe梁轴线的变形轴线是由横截面的形心组成ABxy平面简图:由于主要观察轴线变化，荷载可略去，建立如图x-y坐标系。轴线是由横截面的形心组成ABxy切线法线C1C1观察x截面形心变形前后的位置(小变形)x变形后截面形心截面x的水平位移相对于w为高阶微量<

2、前梁轴线θθABxy挠度θwC1C1截面x的位移—挠度、转角挠曲线转角θx梁变形前后横截面形心位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。在小变形和忽略剪力影响（l>>h）的条件下，略去x方向的线位移，y方向的线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用w表示，单位m、mm；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示，单位弧度。而变形后的轴线是一条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性曲线）。注意：挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满足数学上的光滑性、连续性。即：①曲线没有间断；②曲线没有尖点。ABxyABxy①②挠曲线在x—y坐标系中的数学

3、表达式即挠曲线方程，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程：w=f(x)挠曲线方程tanθ=w'=f'(x)在小变形条件下，tanθθ，因此，θ(x)=f'(x)转角方程ABxy挠度wθwC1C1x截面的位移：挠度、转角w=f(x)挠曲线方程转角方程θ(x)=f'(x)θx梁挠度、转角的求解方法：①求解挠曲线—积分法（基本方法）②叠加法③图乘法2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(重点)（1）梁的挠曲线近似微分方程（2）积分法求梁的挠度和转角(熟练掌握)（1）梁的挠曲线近似微分方程梁在荷载作用下轴线形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。

4、纯弯变形中性层MMθ1/ρ=θ/lρl（1）梁的挠曲线近似微分方程梁纯弯曲时平面弯曲的曲率公式为：（4-4）式（4-4）表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度成反比。取梁中dx段，横力弯曲变形关系dθdxO2O11/ρ(x)=dθ/dxMMρ(x)横力弯曲作用下忽略剪力对变形的影响，梁纯弯曲的曲率公式(4-4)式变为：（a）曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：(b)小挠度条件下，w'2<<1，式(b)简化为：(5-1)yxOyxOMMMM（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的正负号关系M与w''总是异号所以有：(5-

5、2a)式(5-2a)称为挠曲线近似微分方程。显然，挠曲线近似微分方程仅适用于小挠度、线弹性范围内的平面弯曲问题。若为等截面直梁,EIz为常量,式(5-2a)为：(5-2b)（2）积分法求梁的挠度和转角(熟练掌握)将式（5-2b）分别对x积分一次和二次：(5-2b)得到梁的转角方程和挠曲线方程：如果梁的弯矩方程M(x)可以用一个函数来描述：ABql-Mql2/2如果梁的弯矩方程是分段描述的，如M1(x),M2(x)，则挠曲线近似微分方程也应分段建立。如下例：M+Fab/l21FABlC对各段弯矩方程M1(x),M2(x)分别建立挠曲线近似微分方程并积

6、分：其中：C1、D1、C2、D2为积分常数，由边界条件和连续条件确定。说明：1、对于荷载无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则积分式中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。2、对于荷载有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描述，因而必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处相邻两段的挠度和转角值必须对应相等，于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。补充：常见的梁挠曲线边界条件确定(重点、难点，要求熟练掌握)

7、1、只有正确的写出边界条件，代入积分后的转角方程和挠曲线方程，才能求出积分常数C1、D1,、C2、D2、……2、边界条件、连续条件的个数与积分常数C1、D1,、C2、D2、……的个数相等。AAA边界条件（或约束条件）（或支承条件）连续条件C21M1(x)M2(x)固定端固定铰活动铰M(x)分段处Fx=0,w(0)=0,w'(0)=0xyo固定端有两个边界条件顺时为正熟记：x=0,w(0)=0xyo固定铰一个边界条件x=0,w(0)=0xyo活动铰一个边界条件x=a,w1(a)=w2(a)x=a,w1'(a)=w2'(a)曲线的光滑性、连续性的保证。

8、xyoaM(x)分段处两个连续条件C21M1(x)M2(x)F解题的基本过程：1，选坐标系，一般原点取在梁的两端。2，一般