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1、第五章梁弯曲时的位移梁的挠曲线近似微分方程及其积分按叠加原理计算梁的挠度和转角梁的刚度校核提高梁刚度的措施梁的位移——挠度及转角梁内的弯曲应变能返回1一、基本概念1.取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，xy平面为纵向对称平面BxyA§5-1梁的位移——挠度及转角2yABxC（1）挠度（w）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。2.度量梁变形后横截面位移的两个基本量C'w挠度3（2）转角（）：横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角。转角yABxCw
2、挠度C'4二、挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w为该点的挠度。挠曲线转角yABxCw挠度C'5三、挠度与转角的关系：挠曲线转角yABxCw挠度C'6四、挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：自x转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。挠曲线转角yABxCw挠度C'7横截面形心铅垂方向的位移－挠度w横截面相对于初始位置转过的角度转角梁的横截面产生两种主要位移：简支梁弯曲时的总体变形微段变形累加的结果8五、梁的位移分析的工程意义1.齿轮传动轮齿不均匀磨损，噪声增
3、大，产生振动；加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。变形带来的弊端：12129五、梁的位移分析的工程意义当变形足够大时，可以有效接通电路；当变形不够大时，不能有效接通电路；2.继电器中的簧片触点簧片工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。电磁力10横力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则一、梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲时曲率与弯矩的关系为§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分11由几何关系知,平面曲线的曲率可写作12oxoxyyMMMMM>0M<0在规定的坐标系中，x轴水平向右为正，y轴竖直向下为正。
4、w’’>0,M<0w’’<0,M>0因此,M与w’’的正负号相反曲线向下凸时：曲线向上凸时:13此式称为梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了w’2项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为14再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成15二、用积分法求弯曲变形挠度方程：转角方程：式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形连续性条件来确定。16ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。在悬臂梁中，固定端处的挠度wＡ和转角
5、A都应等于零。边界条件wA=0wB=0wA=0A=017连续性条件ABAB在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。18例题1：确定梁的连续条件ABCDFG但是19例题2：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max.yABxF20弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为xyABxF21对挠曲线近似微分方程进行积分22边界条件为:C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得23梁的转角方程和挠曲线方程分别为C1=0C2=024max及wmax都
6、发生在自由端截面处（）（）yABxF25例题3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max.ABq26解:由对称性可知，梁的两个支座力为ABq27此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为xABq2829边界条件为:xABq30将边界条件代入(c),(d)两式得梁的转角方程和挠度方程分别为31在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，AABq32ABq在梁跨中点l/2处有最大挠度值A33例题4：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力
7、F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。ABFDab34解:梁的两个支反力为ABFDab35两段梁的弯矩方程分别为12xABFDabx36两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)37D点的连续条件：在x=a处边界条件在处，在x=0处，12ABFDab代入方程可解得:38将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大39简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁，令得40当a>b时，x18、度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.42对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之
