梁弯曲时的位移课件.ppt

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1、第五章梁弯曲时的位移§5-1梁的位移——挠度和转角§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角§5-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施1§5-1梁的位移——挠度和转角直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。第五章梁弯曲时的位移2弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，

2、此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：第五章梁弯曲时的位移3在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。第五章梁弯曲时的位移4§5-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分Ⅰ.挠曲线近似微分方程的导出在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。第五章梁弯曲时的位移图（c）yρzyxo’o’b’b’5在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=F

3、S(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有第五章梁弯曲时的位移从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作6第五章梁弯曲时的位移得挠曲线近似微分方程总是符号相反与7Ⅱ.挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。第五章梁弯曲时的位移8边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。第五章梁弯曲时的位移9若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段

4、写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。第五章梁弯曲时的位移wC左=wC右，ABCPθC左=θC右10例题5-1试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移11解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得于是得该梁的边界条件为：在x=0处

5、，w=0第五章梁弯曲时的位移12从而有转角方程挠曲线方程根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。第五章梁弯曲时的位移13可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有第五章梁弯曲时的位移14例题5-2试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移15解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：第五章梁弯曲时的位移16该梁的边界条件为在x=0处w=0，在x=l处w=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程第五章梁弯曲时的位移17根据对称性

6、可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为第五章梁弯曲时的位移18例题5-3试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移19解：约束力为两段梁的弯矩方程分别为为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。第五章梁弯曲时的位移20两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：挠曲线近似微分方程积分得左段梁右段梁第五章梁弯曲时的位移21值得注意的是，在对右段梁进行积

7、分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件w1'

8、x=a=w2'

9、x=a及w1

10、x=a=w2

11、x=a确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁弯曲时的位移22该梁的两类边界条件为支座约束条件：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0连续条件：在x=a处，w1=w2第五章梁弯曲时的位移由两个连续条件得：由支座约束条件w1

12、x=0=0得从而也有23由另一支座约束条件w2

13、x=l=0

14、有即从而也有第五章梁弯曲时的位移24从