第五章梁弯曲时的位移(含能量法教学)

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1、第五章梁弯曲时的位移(DisplacementsofBendingBeam)廖东斌编制13451911061一.概述第五章梁弯曲时的位移三.挠曲线近似微分方程四.叠加法计算梁的位移六.梁的刚度计算二.梁的位移─挠度及转角五.能量法I-静定结构变形计算一.概述1.工程实践中的弯曲变形问题在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。在另外一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。★变形过大的不利影响（工程实例）●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响零件的加工

2、精度，甚至会出现废品。摇臂钻床(自重、钻头等约束力影响）●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。●传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。●车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。★变形的有利方面（工程实例）●求解超静定问题。二.梁的位移─挠度及转角挠度w：横截面形心处的铅垂位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度。梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形??xy挠度w：横截面形心处的铅垂位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度。挠曲线挠曲线(deflectioncurve):

3、变形后的轴线。★工程实例控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移★工程中测量挠度的方法、仪器精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、光电方法等三.挠曲线近似微分方程1.挠曲线方程(deflectionequation)xy挠曲线挠曲线方程：转角方程：曲线w=f(x)的曲率为梁纯弯曲时曲率由几何关系得问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？考虑小变形条件：问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？思考:与小挠度微分方程相对应的坐标系为？（）xxxyyy(a)(b)(c)教材中采用（a)图坐标系2.积分法求弯曲变形式中积分常数C

4、、D由边界条件确定●弯矩方程不分段时●弯矩方程分n段时，积分常数个数为2n由边界条件确定的方程需要2n个方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大光滑连续条件：FC边界条件√××约束条件:两端铰处挠度为零。铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）边界条件固定端约束对位移的影响：B处转角、挠度?连续光滑曲线边界条件例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由边界条件：得：最大转角和最大挠度：θAθB（↓

5、）（）★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB另解：边界条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由边界条件：得：由对称条件：得：思考：?

6、AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：四.用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法化成可查表形式。逐段刚化法：变形后：ABAB`

7、BCB`C`C点的位移为：wc例4.用叠加法求解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361（）（）（）例5.若图示梁B端的转角θB=0，求力偶矩m和P的关系？解：例6.求外伸梁C处的位移。LaCABP解：ABCP刚化EI=PCfc1BC引起的位移θc1刚化AB刚化BC，AB部分引起的位移CABP刚化EI=fc2θB2PPaθB2例7.求图示变截面梁B、C截面的挠度。解：思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。Ⅳ、图形互乘法

8、（★★★★★）Ⅱ、卡氏第二定理Ⅲ、单位力法（★★★★★）五.能量法I-静定结构变形计算Ⅰ、杆件的应变能在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能(又称变形能)。Ⅰ、杆件的应变能物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即★杆件应变能计算1、轴向拉伸和压缩一般地2、扭转一般地3、弯曲一