第五章 梁弯曲时的位移(材料力学)

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1、第五章梁弯曲时的位移第一节概述第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分第三节叠加法求梁的位移第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施第五节梁内的弯曲应变能1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。第一节概述B1Fxqqwyx2.梁位移的度量：②挠度：梁横截面形心的竖向位移v，向下的挠度为正①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—w=f(x)④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施一、挠曲线近似微分方程1.力学关系：2

2、.几何关系：3.挠曲线近似微分方程：第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分yxyx二、积分法求梁的挠曲线2.支承条件与连续条件:1.式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。1)支承条件：2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的lFABqmaxfmax解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：例5-1图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。yxFx例5-2求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：1、求支反力几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。第三节叠加

3、法求梁的位移例5-3如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。FqvBqvCqqBFvBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：例5-4试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。一、梁的刚度校核除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：梁的刚度条件为：通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。第四

4、节梁的刚度校核提高梁的刚度措施例5-5一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160MPa，许用挠度[δ]=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。解：1、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：由此得由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。F=35kN2mAB2ml=4mM二、提高梁的刚度措施2.调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；

5、或增加支座等。1.增大梁的抗弯刚度EI；主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。qlABqlABqAB纯弯曲时梁的弯曲应变能为：横力弯曲时梁的弯曲应变能为：第五节梁内的弯曲应变能F例5-6计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度vB，已知梁的弯曲刚度为EI。解：1、梁任一截面的弯矩为：2、弯曲应变能为：3、计算B点的挠度vB