初高中衔接(2因式分解)

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1、初高中衔接课程第二讲因式分解(基本计算能力培养)因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形屮起着重要的作用.是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.还记得我们上节课算得立方数和平方数吗？一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a+b)(a2-ab+b2)=o'+b^(立方和公式)(a-b)(a2+ab+b2)=a3—b3(立方差公式)由于因

2、式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到:6(3+_cib+)a3-/?3=(a-b){a~+ab+b2)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8+x3(2)0.125-27/?3【例2】分解因式：(1)3cib—81/?4(2)6/7—cib^二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如/似+/^+似+/1/?既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组來因式分解的A法叫做分

3、组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.1.分组后能提取公因式【例3】把2or-10“y+5/?y-/?x分解因式.【例4】把-d2)-(a2-b2)cd分解因式.2.分组后能直接运用公式【例5】把x2-y2+分解因式.【例6】把2又2+4叮+2/-8?分解因式.三、十字相乘法1.x2+O+g)x+型的因式分解这类式子在许多问题屮经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)—次项系数是常数项的两个因数之和.•V+(p+g)x+pq=x+px+qx+pq=x(x+/?)+<7(x+p)=(x+p)(x+q)因此:，%2+(厂+g)%+pq=(x+p)(x

4、+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.【例7】把下列各式因式分解：智薩1对11—wwwjlajiaobanxom【例8】把下列各式因式分解：(1)x~+5x—24(2)x~—2.x—15孩子持续提幵【例9】把K列各式因式分解：(1)x"+xy—()y~(2)(x~+-8(x~+%)4-12(2)由换元思想，只要把x2+x整体看作一个字母6Z,可不必写山，只当作分解二次三项2.—般二次三项式+C型的因式分解我们知道，(6Z,x+c,)(6z2x+c2)=a{a2x^+(a,c2+6Z2c,)x+c,c2反过来，就得到:aAa2x2+(tz,c2^a2c)

5、x+c}c2=+c)(a2x^c2)a二次项系数分解成常数项C分解成AG,把+写成七^2,这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到如果它正好等于的一次项系数那么似2+&+C就可以分解成0#+6^02又+，其巾AW位于上一行，位于下一行.这种借助㈣十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.【例10】把下列各式因式分解：四、其它因式分解的方法1.配方法【例11】分解因式x2+6x-16解：x2+6jv-16=x2+2xjvx3+32—32-1

6、6=U+3)2-52=(x+3+5)(%+3-5)二(x+8)(x-2)本题也可以十字相乘，只是多提供一种解题思路。2.拆、添项法【例12】分解因式x3—3x2+4分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决.一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式來分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解;(4

7、)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.A1.把下列各式分解因式:(1)6r3+27(2)8-m:(3)—27%3+8--P3智薩1对1—wwwjlajiaobanxom2.把下列各式分解因式：（1）町3+/（2）z+3-zy(3)a2{m+n)3-a2b'(4)y2(x2-2x)3+y23.把下列各式分解因式:(1)x2—3x+2(2)x2+37x4-36(3)x~+1lx—26(4)x~—6%—27(5)m/-4mzz-5n(6)(6F—b)~+1