初高中衔接教材之因式分解

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1、初高中衔接教材之因式分解因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．1．提取公因式法与分组分解法、公式法例1分解因式：（1）2（y－x）2+3（x－y）（2）mn（m－n）－m（n－m）22．十字相乘法例2分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4

2、）3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法）若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3　把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）；（2）．当堂反馈：1．填空：（1）（）；（2）；(3)　．2．分解因式：（1）5（x－y）3+10（y－x）2（5）8a3－b3；（6）x2＋6x＋8；（7）（8）；　4．在实数范围内因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）．5．分解因式：x2＋x－(a2－a)．初高中衔接教材之一元二次方程第1课时根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠

3、0），用配方法可以将其变形为．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“

4、Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这

5、一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．【当堂反馈】1、方程的根的情况是。2、若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是。3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？4．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？5.已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是第2课时根

6、与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，则有：；．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．以两个数x1，x2为根的一元二次方程是：例1已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．例2已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对

7、应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例3已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例4若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－1＝0的两根．（1）求

8、x1－x2

9、的值；（2）求的值；（3）x13＋x23．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个

10、重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则，，∴

11、x1－x2

12、＝．于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx