初高中衔接教材之 因式分解

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33二、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A可以写成代数式B与代数式C的乘积，即ABC。此时，我们说B与C是A的因式，而A是B与C的倍式。例如：由，可知与皆为的因式，而为与的倍式；由，可知与皆为的因式，而为与的倍式。下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。【多项式的除法】413）58526在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：同时，我们也知道：581346类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。【范例1】求的商式及余式。 33【解】方法一：直式算法方法二：分离系数法x3x1）x24x2x2x3x23x311311）1421132331x(x1)3(x1)答：商式为，余式为。在自然数的除法，我们有下列的规则：被除数除数商数余数，其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：被除式除式商式余式，其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式=除式商式余式」的概念来验算。例如：（除式商式余式）　　　（被除式）21112）251524111215127【范例2】求的商式及余式。【解】答：商式为2x2x1，余式为7。使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。 33【范例3】求(3x22)(2x1)的商式及余式。【解】　　因为，所以用302来表示3x22。21）30232答：商式为x，余式为。【范例4】求的商式及余式。23312）674862490893632【解】答：商式为2x3，余式为3x2。【范例5】求(3x38x27x2)(x22x1)的商式及余式。32121）38723632422420【解】答：商式为3x2，余式为0。【类题练习1】求下列各除法运算的商式及余式：(1)(2)(3)(4) 33当余式为零多项式时，我们称除式整除被除式，例如：在范例5中，x22x1整除3x38x27x2。这时，x22x1与3x2为3x38x27x2的因式，而3x38x27x2为x22x1与3x2的倍式；而在范例4中，所得到的余式3x2不为零多项式，所以与2x3都不是的因式。我们知道两个x的一次式乘积展开后成为x的二次多项式。反过来说，如果能将一个x的二次式写成两个x的一次式的乘积，我们称这样的过程为这个二次式的因式分解。因式分解乘积展开在高中的课程中，我们也会将一个多项式写成几个一次或二次的多项式的连乘积，这样的过程也称为这个多项式的因式分解。例如：因式分解乘积展开=在国中阶段做因式分解时，我们只考虑因式的系数为有理数（整数或分数）的情形。但从此以后，我们将不再要求因式的系数一定是有理数。在2-2至2-4节中，我们将介绍几个常用的方法：提公因式、分组分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5节中补充利用配方法做因式分解。【重点整理】1.判别两多项式是否为因倍式关系时，可使用除法所得余式是否为0来判断。 33【家庭作业】基础题1.求下列各除法运算的商式及余式：2.已知，求a、b的值。3.已知某多项式除以，可得商式，余式3，求此多项式。4.已知可被整除，求k的值。5.已知一长方体的体积为、长为且宽为，求此长方体的高。进阶题6.若多项式A除以得商式B，余式为3；多项式B除以得余式为，求多项式A除以所得的余式。7.求以除所得的余式。 332-2提公因式作因式分解【从各项提公因式】如果发现多项式的每一项都有共同的因式时，我们可先将此公因式提出。【范例1】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)【解】(1)(2)(ab)(ab)2(ab)(ab)[(ab)2](ab)(ab2)(3)【类题练习1】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)【分组提公因式】当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式。【范例2】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)(4)【解】(1) 33(2)方法一：方法二：（交换律）(3)方法一：方法二：(4)可尝试去括号展开后，再重新分组。【类题练习2】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)(4) 33从前面的例子我们可以看出，某些多项式可能有不只一种分组的方式来做因式分解。【重点整理】1.若代数式各项有公因式时，先将此公因式提出来做因式分解。2.若代数式各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，再提公因式来做因式分解。【家庭作业】基础题1.因式分解下列多项式：进阶题2.因式分解下列多项式： 332-3十字交乘法作因式分解在多项式的乘法运算中，我们学过，其中各项的系数可以用十字交乘的方式来求得bdacadbcabcd常数项项系数x项系数　　因此，我们可以尝试利用上面的方法来因式分解二次多项式。【范例1】因式分解下列多项式：(1)(2)【解】(1)(2)【类题练习1】因式分解下列多项式：(1)(2)【范例2】因式分解下列多项式：(1)(2) 33【解】(1)方法一:方法二:(2)在范例2第(1)题中，和都是的因式分解。事实上，在范例2第(2)题中，、和都是的因式分解。换句话说，若多项式的系数有分数时，可将原多项式改写成的形式，其中a、b、c、d为整数，再对做因式分解。【类题练习2】因式分解下列多项式：(1)(2)【重点整理】 33bdacadbcabcd1.我们可尝试引用十字交乘来做因式分解。【家庭作业】基础题1.因式分解下列多项式：进阶题2.因式分解下列多项式： 332-4利用乘法公式做因式分解对于某些多项式，我们可直接利用乘法公式来作因式分解。【完全平方公式】【范例1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)(4)【解】(1)(2)(3)（或写成）(4) 33【类题练习1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)(4)【平方差公式】【范例2】利用平方差公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)【解】(1)(2)(3) 33【类题练习2】利用平方公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)(4)【完全立方公式】【范例3】利用完全立方公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)【解】(1)(2)(3)【类题练习3】完全立方公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)(4) 33【立方差与立方和】【范例4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)【解】(1)(2)(3)【类题练习4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1)(2)(3)(4)在范例4的第(3)题中，也可以将写成，因此得到：事实上，可以再分解，我们将在下一个单元里，介绍它的分解方法。【重点整理】 331.我们可尝试利用下列的乘法公式：【完全平方公式】；【平方差公式】；【完全立方公式】；【立方和、差公式】，来做因式分解。【家庭作业】基础题1.因式分解下列各式：进阶题2.因式分解下列各式：3.已知，，求下列各式的值： 332-5利用配方法作因式分解利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介绍的方法，可以处理一些特殊多项式的因式分解，这里需要一些拆项(分项)或补项(加减项)的技巧，要多练习。【完全平方公式】【平方差公式】【完全立方公式】【立方和、差公式】【范例1】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)(4)【解】(1)(2)(3)(4) 33事实上，在范例1的第(3)题中，所见到的也是一个常见的乘法公式。【类题练习1】因式分解下列各式：(1)(2)(3)(4)【范例2】因式分解下列多项式：(1)(2)【解】(1)虽然可以直接引用立方差公式来因式分解，我们也可以用补项的概念来因式分解。(2)很显然，无法直接使用平方差公式来分解。所以，我们尝试用补项的方法来克服困难。 33在国中时期，因为我们要求因式分解后的各个因式的系数皆为有理数，所以有些二次式无法分解。如果允许因式的系数可为任意实数，那么我们就可以用配方法来分解它。【范例3】因式分解。【解】【类题练习2】利用配方法的技巧，来因式分解下列各式：(1)(2)(3)【重点整理】1.我们可以用拆项或补项的概念将多项式配成某些乘法公式的形式来做因式分解。2.在配方法中，常引用的乘法公式有：【完全平方公式】；【平方差公式】；【完全立方公式】；【立方和、差公式】。 33【家庭作业】基础题1.利用配方法因式分解下列各式：进阶题2.因式分解下列各式：3.回答下列各题：已知，，求的值。若，其中a、b、c为整数，求a、b、c的值。4.回答下列各题：因式分解。设a、b为两正数，若，求的值。承，求的值。