初高中衔接教材之 因式分解

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1、33二、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A可以写成代数式B与代数式C的乘积，即ABC。此时，我们说B与C是A的因式，而A是B与C的倍式。例如：由，可知与皆为的因式，而为与的倍式；由，可知与皆为的因式，而为与的倍式。下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。【多项式的除法】413）58526在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：同时，我们也知道：581346类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两

2、种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。【范例1】求的商式及余式。33【解】方法一：直式算法方法二：分离系数法x3x1）x24x2x2x3x23x311311）1421132331x(x1)3(x1)答：商式为，余式为。在自然数的除法，我们有下列的规则：被除数除数商数余数，其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：被除式除式商式余式，其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。在完成多项式的除法后，为了

3、验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式=除式商式余式」的概念来验算。例如：（除式商式余式）　　　（被除式）21112）251524111215127【范例2】求的商式及余式。【解】答：商式为2x2x1，余式为7。使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。33【范例3】求(3x22)(2x1)的商式及余式。【解】　　因为，所以用302来表示3x22。21）30232答：商式为x，余式为。【范例4】求的商式及余式。23312）674862490893632【解】答：商式为2x3，余式为3x2。【范例

4、5】求(3x38x27x2)(x22x1)的商式及余式。32121）38723632422420【解】答：商式为3x2，余式为0。【类题练习1】求下列各除法运算的商式及余式：(1)(2)(3)(4)33当余式为零多项式时，我们称除式整除被除式，例如：在范例5中，x22x1整除3x38x27x2。这时，x22x1与3x2为3x38x27x2的因式，而3x38x27x2为x22x1与3x2的倍式；而在范例4中，所得到的余式3x2不为零多项式，所以与2x3都不是的因式。我们知道两个x的一次式乘积展开后成为x的二次多项式。反过来说，如果

5、能将一个x的二次式写成两个x的一次式的乘积，我们称这样的过程为这个二次式的因式分解。因式分解乘积展开在高中的课程中，我们也会将一个多项式写成几个一次或二次的多项式的连乘积，这样的过程也称为这个多项式的因式分解。例如：因式分解乘积展开=在国中阶段做因式分解时，我们只考虑因式的系数为有理数（整数或分数）的情形。但从此以后，我们将不再要求因式的系数一定是有理数。在2-2至2-4节中，我们将介绍几个常用的方法：提公因式、分组分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5节中补充利用配方法做因式分解。【重点整理】1.判别两多项式是否为因倍式关

6、系时，可使用除法所得余式是否为0来判断。33【家庭作业】基础题1.求下列各除法运算的商式及余式：2.已知，求a、b的值。3.已知某多项式除以，可得商式，余式3，求此多项式。4.已知可被整除，求k的值。5.已知一长方体的体积为、长为且宽为，求此长方体的高。进阶题6.若多项式A除以得商式B，余式为3；多项式B除以得余式为，求多项式A除以所得的余式。7.求以除所得的余式。332-2提公因式作因式分解【从各项提公因式】如果发现多项式的每一项都有共同的因式时，我们可先将此公因式提出。【范例1】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)【解】(

7、1)(2)(ab)(ab)2(ab)(ab)[(ab)2](ab)(ab2)(3)【类题练习1】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)【分组提公因式】当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式。【范例2】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)(4)【解】(1)33(2)方法一：方法二：（交换律）(3)方法一：方法二：(4)可尝试去括号展开后，再重新分组。【类题练习2】因式分解下列多项式：(1)(2)(3)(4)33从前面的例子我们可以看出，某些多项式可能有不只一种分组的方式来做因式分解。【重点整理】1.

8、若代数式各项有公因式时，先将此公因式提出来做因式分解。2.若代数式各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，再提公因式来做因式分解。【家庭作业】基础题1.因式分解下列多项式：进阶题2.因式分解下列多项式：332-3十字交乘法作因式分解在多项式的乘法运算中，我