四川省广安市华蓥中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学 Word版含解析.docx

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四川省华蓥中学高2025届1月月考数学试题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知直线经过点和，则的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求解出斜率，然后根据求解出倾斜角.【详解】设直线倾斜角为，因为，所以且，所以，故选：C.2.若直线与直线平行，则的值是（）A.1或B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线与直线平行，可得，解得，所以实数的值为.故选：C3.已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.【详解】由已知，解得，故抛物线的准线方程为，故选：A.4.如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出，，利用向量的夹角公式可得答案.【详解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以，所以互相垂直，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设， 则，可得，，所以.所以直线与直线夹角的余弦值为.故选：C.5.我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人B.7天602人C.8天716人D.9天795人【答案】B【解析】【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，∴，，∴天则目前派出的人数为人，故选：B．6.已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线 的倾斜角的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，因此直线的倾斜角的取值范围是．故选：C7.已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出 ，代入中，即可求得答案.【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，又于点，则；设，由，得，则，代入，得，即点的轨迹方程为，故选：A8.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由方程确定直线过定点，曲线是半圆，作出图形后，由图形易得参数范围．【详解】由已知直线过定点，曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，作出它们的图形，如图，直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，，故选：C． 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由已知等比数列判断选项中的数列是否为等比数列时，一般从举反例否定和按照等比数列定义推理两个角度进行即可.【详解】不妨设等比数列的公比为.对于A选项，不妨取数列展开为，则展开为，显然不是等比数列，故A项错误；对于B选项，由则数列为等比数列，故B项正确；对于C选项，由则数列为等比数列，故C项正确；对于D选项，当时，数列为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D项错误.故选：BC.10.下列说法中，正确是（）A.过两点的直线方程为B.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8C.过点且与直线相互平行的直线方程是 D.经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】由x2＝x1或y2＝y1时，式子无意义可判断A；求解直线与两个轴交点坐标，计算面积可判断B；设平行的直线为，代入点坐标求解可判断C；过原点的直线在两个坐标轴上截距也相等，分析可判断D.【详解】对A，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故A不正确；对B，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴交点坐标为，故围成的三角形的面积是×4×4＝8，故B正确；对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；对D，斜率为-1以及过原点的直线在两个坐标轴上截距都相等，故经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误.故选：BC.11.以下四个命题正确的是（）A.双曲线与椭圆的焦点不同B.，为椭圆的左、右焦点，则该椭圆上存在点满足C.曲线的渐近线方程为D.曲线，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】A选项，求出双曲线和椭圆方程的焦点坐标，判断A错误；B选项，求出，故点的纵坐标为2或即可，根据椭圆上点的有界性判断B错误；C选项，根据双曲线渐近线方程公式求出答案；D选项，根据焦点所在位置得到不等式，求出，D正确. 【详解】A选项，双曲线，即，焦点在轴上，由于，故其焦点为，，而椭圆，焦点在轴上，且，故焦点为，，故A错误；B选项，椭圆，则，，即，所以，，则，要使，则，即，即点的纵坐标为2或即可，而椭圆上的点纵坐标取值范围为，则不存在点满足，故B错误；C选项，双曲线的渐近线方程为，故C正确；D选项，曲线，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确.故选：CD.12.在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当时，的面积的最大值为B.当时，三棱雉的体积为定值C.当时，的最小值为 D.当时，不存在点，使得【答案】ABC【解析】【分析】当时，当点与重合时，证得，结合，可判定A正确；当时，得到点在上运动，根据，可判定B正确；设的中点为，的中点为，得到点在线段上运动，当点运动到线段的中点时，，求得，可判定C正确；当时，设的中点为，的中点为，得到点在上运动，当点与点重合时，证得；当点与点重合时，，可判定D错误；【详解】对于A中，当时，，则点在上运动，则当点与重合时，则此时面积取得最大值，，由于直三棱柱，则，为等腰直角三角形，则，又由，面，则面，因为面，所以，则，故选项A正确；对于B中，当时，则，点在上运动，则，由于点到平面的距离为定值，点到线段的距离恒为，则，则，故选项B正确；对于C中，设的中点为，的中点为，当时，，则点在线段上运动，因为，， 所以当点运动到线段的中点时，，此时，所以，故选项C正确；对于D中，当时，，设的中点为，的中点为，则点在上运动，当点与点重合时，，，因为，平面，则面，又因为面，则，当点与点重合时，面，即面，则，故选项D错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.已知是公比为2的等比数列，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】是公比为2的等比数列，故答案为：.14.设椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于A，B两点，则的周长为________．【答案】16【解析】【分析】，利用椭圆定义可求出的周长．【详解】椭圆C：的长半轴长，则的周长为．故答案为：16.15.已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________．【答案】1【解析】【分析】根据，，三向量共面，由求解.【详解】解：因为，，，且，，三向量共面，所以，即， 所以，解得，故答案为：116.已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义转化后求解【详解】抛物线的焦点为，设点坐标，则，由题意当时，，令，则，，由基本不等式知，当且仅当时等号成立故的最小值为．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值为–16．【解析】【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】公式法设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．[方法二]：函数+待定系数法设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．（2）[方法1]：邻项变号法由可得．当，即，解得，所以的最小值为，所以的最小值为．[方法2]：函数法由题意知，即，所以的最小值为，所以的最小值为．【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．18.已知动点与两个定点，的距离的比是2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.【小问1详解】设点，动点与两个定点，的距离的比是，，即，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为；【小问2详解】由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，直线被曲线截得的弦长为，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，化简得，解得或，此时直线的方程为或.综上，直线的方程是或.19.已知双曲线C和椭圆有公共焦点，且离心率为．（1）经过点作直线l交椭圆交于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程． （2）求双曲线C的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用点差法求出直线l的斜率，进而得到直线方程；（2）求出椭圆方程的焦点坐标，设出双曲线方程，结合离心率得到方程组，求出，求出双曲线方程.【小问1详解】设，当时，此时不是AB的中点，不合要求，故，则，两式相减得，故，因为，故，又，所以， 所以直线l的方程为，即；【小问2详解】的焦点坐标为，设双曲线C的方程为，则，解得，故双曲线方程为.20.第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率；（3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；【小问1详解】 由题意可得：3人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；【小问2详解】甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；【小问3详解】由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，则.21.如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论；（2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设 ，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果.【小问1详解】因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以又面面ABCD，面面，面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】取AB的中点，连结ON，则，所以以为正交基底建立空间直角坐标系，则，设，，则，又，设平面的一个法向量为，则，即，若，取，由直线AP与平面MBD所成角为，得 ，化简得解得或，当或时，直线AP与平面所成角为.22.已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，.（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，再由当直线与轴垂直时，得到，代入椭圆的方程，求得，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，得到的面积为，结合对勾函数的单调性，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆的右顶点，可得，当直线与轴垂直时，且， 所以直线过点，可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，联立方程组，整理得，且所以，，∴的面积为，令，则又由对勾函数在上单调递增，则，所以，从而，当且仅当时取等号，故面积的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2 ）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.