z变换离散时间系统的时域分析

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1、第八章Z变换、离散时间系统的Z域分析§8.1引言求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可是追溯到18世纪；20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。本章主要讨论：拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。一．引言二．z变换的导出抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换对取拉氏变换三．对z变换式的理解说明若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有

2、起因序列）存在的序列取z变换§8.2z变换的定义、典型序列的z变换z变换的定义一．单位样值函数二．单位阶跃序列三．斜变序列的z变换已知两边同时乘以z-1，可得（用间接方法求）同理可得n是离散变量，所以对n没有微积分运算；z是连续变量，所以对z有微积分运算。四．指数序列1．右边序列注意：z变换相同时，左边序列的定义。五．正弦与余弦序列单边余弦序列同理§8.3z变换的收敛域一．收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相

3、同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。二．两种判定法1．比值判定法若有一个正项级数，则：<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于，则<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散2．根值判定法三．讨论几种情况1．有限长序列的收敛域2．右边序列的收敛3．左边序列的收敛4．双边序列的收敛2．右边序列的收敛ROC：3．左边序列的收敛ROC:4．双边序列的收敛四．总结★x(n)的收敛域（ROC）为z平面以原点为中心的圆环；★ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；★有限长序列的ROC为整个

4、z平面（可能除去z=0和z=）；★右边序列的ROC为的圆外；★左边序列的ROC为的圆内；★双边序列的ROC为的圆环。所以，收敛域为的z平面。例8-3-1例8-3-2若该序列收敛，则要求即收敛域为：例8-3-3收敛域为：例8-3-4ROC:§8.4逆z变换一．部分分式展开法1．z变换式的一般形式2．求逆z变换的步骤3．极点决定部分分式形式对一阶极点高阶极点（重根）二．幂级数展开法z变换式一般是z的有理函数，可表示为：直接用长除法进行逆变换（是一个z的幂级数）1．幂级数展开法2．右边序列的逆z变换3．左边序列的逆z变换三．围线积分法求z反变换1

5、．z逆变换的围线积分表示得z逆变换公式用留数定理求围线积分。推导在的收敛域内，选择一条包围坐标原点的逆时针方向的围线C，的全部极点都在积分路线的内部。积分与求和互换推导推导应用柯西定理2．用留数定理求围线积分围线积分等于围线C内所有极点的留数之和单阶极点k重极点右边序列左边序列围线积分等于围线C外所有极点的留数之和例8-4-1例8-4-2例8-4-3同理：B＝2查表收敛域与原函数的对应右　　右右　　左左　　左例8-4-4例8-4-5(2)n=0(3)验证前例用部分分式展开法得到的结果结果相同§8.5z变换的基本性质一．线性a,b为任意常数。R

6、OC：一般情况下，取二者的重叠部分某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。(表现为叠加性和均匀性）原序列不变，只影响在时间轴上的位置。1．双边z变换的位移性质2．单边z变换的位移性质若x(n)为双边序列，其单边z变换为(1)左移位性质(2)右移位性质而左移位序列的单边z变换不变。三．序列线性加权共求导m次四．序列指数加权同理证明：（z域尺度变换）五．初值定理推理x(1)＝？理解六．终值定理无无有，1有，0例题终值存在的条件(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;例：，终值为0(2)若极点位于单位圆上，只能位于，

7、并且是一阶极点。注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第一条。例：u(n)，终值为1七．时域卷积定理收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。八．z域卷积定理（自阅）例8-5-1解：已知并且同理同理例8-5-2零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。例8-5-3方程两边取z变换带入边界条件解：解续整理为例8-5-4解：例8-5-5收敛域：同理：解：例8-5-6另外，因为分子比分母低一次，所以x(0)=0。解：例

8、8-5-7解：由Y(z)求y(n)证明初值定理证明时域卷积定理因为所以根据双边z变换的定义可得证明双边z变换的位移性证明右移位性质根据单边z变换的定义，可得证明左移