离散时间系统的时域分析

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1、第七章离散时间系统的时域分析学习目的1.掌握离散时间信号的基本运算2.掌握根据实际问题建立差分方程的方法3.掌握差分方程的迭代解法和时域经典解法4.会根据系统的差分方程画出系统的方框图教学重点难点掌握零输入响应和零状态响应的求解方法以及卷积和的计算教学内容§7.2离散时间信号——序列一．序列的基本概念本书以表示序列，通常把对应某序号n的函数值称为第n点“样值”，仅对n的整数值才有意义，对于n的非整数值，没有意义。离散时间信号的运算：两信号的相加，相乘，位移，反折，尺度倍乘，差分，累加等。1．相加：，指两序列同序号的数值函数对应相加构成一个新序列。2．相乘：，指两序列

2、同序号的数值函数对应相乘构成一个新序列。3．移位：，m>0序列左移。，m>0序列右移。4．反折：，以n=0翻转。5．尺度倍乘：当为正整数时，构成波形压缩，构成波形扩展。!必须注意：尺度倍乘要按规律去除某些点或补足相应的零值。前向差分：以表示，注：本章可采用与第二章对比的分析方法进行讲解。10后向差分：以表示，累加：序列的能量：二．常用的典型信号1．单位样值信号：注意与区别2．单位阶跃序列：注意与的求别...3．矩形序列：...4．三种信号的关系：10...1235．斜变序列：6．指数信号：，当时发散；当收敛。7．正弦序列：，是正弦序列的频率，它反映序列值周期性重复的

3、速率。①当为整数N，则信号周期为②当为有理数，则其周期为③若为无理数，则无周期。例：求的周期解：对于，故其周期为4对于，，周期10对于，，（无理数）故此序列无周期。8．复指数序列：信号的分解：§7.3离散时间系统的数学模型离散系统按性能可划分为线性，非线性，时不变，时变各类型的系统。常用的是系统。系统满足均匀性，叠加性；描述该系统的工具是常系数线性的差分方程。对于离散系统，它的基本单元是延时器，乘法器，相加器。∑延时单元用表示，，或用T，D表示。用表相加，乘法用表示，，，也可用表示。下面以实例说明如何为一个离散时间系统建立差分方程.例：试写出描述此系统的差分方程。∑

4、——一阶差分方程若方程中还包括未知序列的移位项则可构成N阶差分方程，差分方程的阶数等于未知序列变量序号的最高值与最低值之差。差分方程中，各未知序列之序号自n以递减方式给出，称为后向差分方程。若以n递增方式给出，即10等项组成，称为前向差分方程。对因果系统用后向差分方程描述比较方便，而在状态变量分析中，习惯用前向差分方程表示。§7.4常系数线性差分方程的求解常系数差分方程形式为，其求解方法有迭代法，时域经典法，零输入响应与零状态响应，变换域法。，，由于迭代法不易写成封闭形式，一般不常用。1．时域经典法：先求齐次解（自由响应）和特解（强迫响应），然后代人边界条件求待定系

5、数。差分方程的齐次解：一般差分方程形式如下。，将带入方程，将其代人方程中得：称为差分方程的特征根。在无主根的情况下，差分方程的齐次解为。例：求其齐次解解：由上方程可直接得到10若特征根为重根则例：解：其特征方程为故特解的形式与激励函数形式有关，其求法是将设定的特解代人方程中，利用对比系数法求出待定系数。例：求差分方程的特解。解：将代人方程得根据自由项形式，设并将其代入上方程得。一般情况下：若差分方程右端出现形式，则设特解为；若出现形式，且不是差分方程的特征根，则设。系统的零输入响应和零状态响应。系统的全响应又可分为零输入响应和零状态响应10在零输入的条件下，差分方程

6、等号右端为零，方程变为齐次方程，若特征根都是单根，若系统的初始状态为零，此时方程仍为非齐次方程，其解仍由齐次解和特解两部分组成，若特征根都为单根。以上分析与连续系统分析十分相似。需要指出：差分方程的边界条件不一定由这一组数字给出，对于因果系统，常给定为边界条件，若激励信号在时接入系统，零状态是指都为零。例：差分方程（1）若边界条件，求系统的完全响应。（2）若边界条件，求系统的完全响应。解：时信号接入，系统处于零状态，可求，由特征方程求得齐次解为，而特解为将特解代入方程得，代入，（2）先求零输入响应零输入响应满足方程10将代入中得再求零状态响应：由其零状态响应由于零状

7、态，故，作为初始条件也可先求然后代入中，求。§7.5离散时间系统的单位样值响应单位样值响应：当以作为激励而产生的零状态响应。例：已知，试求解：当时，上方程变成当时，上方程蜕变成由得，将代入得例2：已知求解：方程齐次解为当时，即若激励只有时，则系统的样值响应为。10即，将代入中得根据系统的线性和时不变性离散系统因果充要条件为：或，系统稳定的充要条件是（为有限值）§7.6卷积和即：例：即某系统试求响应解：例：已知：求10解：利用一种“对位相乘求和”的方法，可快速求出结果，为此，将两序列样值以各自n的最高值按右端对齐。然后把各个样值对应相乘，但不要进位，最后把同一列上