定积分的应用二

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1、第十章定积分的应用（二）平面曲线的弧长与曲率定积分在物理中的某些应用如何应用定积分解决问题?第一步利用“分割（化整为零）,代替（以曲代直或以常代变）”求出局部量的近似值，即微分表达式第二步利用“求和（积零为整）,取极限（无限累加）”求出整体量的精确值，即得积分表达式这种分析方法成为微元法（又称元素法）微元的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等一、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.

2、定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.（见P247）(证明略)则称定义：设平面曲线C由参数方程（1）给出。如果与在上连续可微，且与不同时为零（即），则称C为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都具有切线且切线随切点的移动而连续转动）定理10.1设曲线C由参数方程(1)给出。若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P249)(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验

3、证)例1.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:下垂悬链线方程为例2.求连续曲线段解:的弧长.例3.计算摆线一拱的弧长.解:例4.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题二、定积分在物理中的某些应用四、惯性问题一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功微元为因此变力F(x)在区间上所作的功为例1.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原

4、点r时,由库仑定律电场力为则功微元为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a

5、微元)为故所求功为设水的密度为一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,面积为A的平板二、液体侧压力设液体密度为深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,就涉及到侧压力问题.所受侧压力问题就需用积分解决.整张平板所受的压力为因为各点受力均等，所以平板一侧所受压力也为这个结果.••小窄条上各点的压强例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力微元端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为三、引力问题质量分别为的质点,相距r

6、,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为说明:2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(a

7、)当质点位于棒的左端点垂线上时,例6.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为四、转动惯量(补充)质量为m的质点关于轴l的转动惯量为的质点系若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决.关于轴l的转动惯量为例7.⑴求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;⑵求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:⑴建立坐标系如图.设圆盘面密度为.小圆环质量对应于的小圆环对轴l的转动惯量为故圆盘对轴l的转动

8、惯量为设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘,平行y轴的细条关于y轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y轴的转动惯量为⑵取旋转轴为y轴,建立坐标系如图.内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式dQ一般微元的几何形状有:扇、片等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等。条、