定积分的应用(二).ppt

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1、旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积（绕x轴旋转所得）于是体积元素为dV[f(x)]2dx.复习（旋转体体积）：1.绕x轴旋转所得旋转体体积公式复习（旋转体体积公式）：2.绕y轴旋转所得旋转体体积公式例把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积旋转体的体积：解：所得旋转体的体积为解旋转椭

2、球体可以看作是由半个椭圆22xaaby-=及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为旋转体的体积：旋转体(旋转椭球体)的体积.例计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的1+2222=byaxaaxxaab--=]31[3222p234abp=.例由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积解：绕x轴旋转所得旋转体的体积为绕y轴旋转所得旋转体的体积为例求圆绕y轴旋转一周所成的旋转体(环体)的体积。解将圆方程改写为，环体是这两个半圆在轴的区间上所围成的曲边梯形绕轴旋转所得体积之差，右半圆弧方

3、程为，则环体体积为：左半圆弧方程为，于是得体积微元为：再将微元从到积分，就得到变力在整个区间上所做的功为：新课（定积分的物理应用举例）：在小区间上变力所作功的近似值，即功的微元：问题：如果物体在变力作用下沿轴由处移动到处，那么变力所作的功又该如何计算呢？一、功1．变力沿直线段作功在小区间上，以“常代变”得功微元为：解取电荷移动的射线方向为轴正向（如右图），例1在原点有一个带电量为的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力。现有一单位正电荷从距原点处沿射线方向移至距点为的地方，求电场力所做的功。又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功

4、？若移至无穷远处，则作功为：。于是电场力所做功为：2．抽水做功例2一个底半径为4m，高为8m的倒立圆锥形容器，内装6m深的水，现要把容器内的水全部抽完，试求需作功多少？解我们设想水是一层一层被抽出来的，由于水位不断下降，使得水层的提升高度连续增加，这是一个“变距离”做功问题，亦可用定积分来解决。选择坐标系如右图，于是直线方程为。在的变化区间内取微小区间，则抽出厚度为的一薄层水需用力的近似值为：则抽出厚度为的一薄层水所需做功的近似值（即功的微元）为：（其中，分别为水的密度和重力加速度）问题：设有一薄板，垂直放在密度为的液体中，求液体对薄板一侧

5、的压力。于是把容器内的水全部抽完所作功为二、液体对平面薄板的压力分析：由物理学知道，在液面下深度为处，由液体重量所产生的压强为若有面积为的薄板水平放置在液深为处，这时薄板各处受力均匀，所受的压力例3一个横放的半径为的圆柱形油桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力(设油密度为)。解选取坐标系如右图，此时圆的方程为。取为积分变量，在其变化区间内任取微小区间，该窄条上所受的压力的近似值，即为压力微元：端面所受的压力为：练习1设某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到

6、的水压力。练习2有一弹簧，原长1m，每压缩1cm需用力5×9.8×10－3N,若自80cm压缩至60cm，问外力作功多少？练习3一容器装满水，容器形状为抛物线与轴和所围图形绕轴旋转所成的旋转体，今把水从容器顶部全部抽出，问至少需做多少功？小结一．利用定积分求平面图形面积；二．利用定积分求旋转体体积；三．利用定积分解决变力作功问题；四．利用定积分求液体对平面薄板的压力．