高等量子理论专题系列讲座三讲之附录

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1、高等量子理论专题系列讲座[第三讲]之附录自然科学的三条基本原理1一,“人造事物”与奇性引论自从Euclid“几何原本”引入其小无内的“点”、其细无比的“线”、其尖无比的“角”、其薄无比的“面”等几何概念开始，Newton在“自然哲学的数学原理”中将其引伸为“质点”和“轨道”的物理概念。就这样,人们创造了许多人造的、自然界中并不存在的数学和物理概念。Poincare说[1]：“几何点其实是人的幻想。”“几何学不是真实的，但是有用的。”Weyl也说[2]：“17世纪Descartes以坐标的形式将数引进了几何，引起了一场暴力

2、革命。从此，数和几何图形就像魔鬼和天使那样争夺着每一位几何学家的灵魂。”[1]HenriPoincare:《科学与假设》，叶蕴理译，商务印书馆，1989年，P.63、65。[2]HermannWeyl，PhilosophyofMathematicsandScience,1949:90。转引自陈省身，《陈省身文集》，华东师范大学出版社，2002年。P.237。2LeopoldKronecker更是说[3]:“上帝创造了整数，余者皆出自凡人之力”。这话说得虽然极端，但有提醒作用。Atiyah也提问[4]：“数学是发明还是发现

3、?”，并回答说：“发明和发现同时出现，发明的部分就是人类的贡献。”他的意思是，数学中发现和发明两种成份同时存在。发现部分是自然界本来具有的，是上帝创造的；而发明部分则是自然界中不存在的，是人类创造的。[3]LeopoldKronecker相信所有的数字奠定了数学的基础。这句话转引自《环球科学》，2013年1月号。P.44。[4]MichaelFrancisAtiyah，数学是发明还是发现?收入于《数学与物理最前沿》，香港科技大学与商务印书馆联合出版。2010年。P.1。3量子力学里，除粒子和轨道概念外，就有各种奇性势、奇

4、性的非正规态矢、δ函数、平面波、甚至含奇性的坐标系、坐标轴的连续性，等等不少人造事物。引入它们确实便于简单明了地描述自然规律，帮助人们迅速理解和掌握它们。比如，使用Dirac非正规矢量描述时应当记住：仅仅是正规矢量才代表物理的实在的状态。非正规矢量（诸如等）并不代表真实的物理状态，它们只是人们为了简化描述所作的理想化、绝对化的抽象物。它们有意义仅仅在于以它们的形式可以展开正规矢量。Dirac说[1]：“一个本征态属于连续区内的某一本征值，是实际上所能达到的情况的一种数学理想化。虽然如此，这样的本征态在理论上起着非常有益的

5、作用，而使我们没有它不行。科学中有许多理论概念的例子，这些理论概念是实际上遇到的事物的极限，虽然它们在实验上是不能实现的，但它们对自然规律的精确表达是有用的。┅。很可能，相应于这些态的右矢的长度为无穷大正和它们不能实现有关系；而所有可以实现的态相应于那些能归一化的右矢量，这些右矢量组成一个Hilbert空间。”Dirac又说：“使用非正规函数不会使理论的严格性受到任何损失，它仅仅是一个方便的符号，它使我们能把某些关系表现为一种简明的形式。如果必要的话，我们也能把这些关系用不含有非正规函数的形式重新写出，只不过表现方式十分

6、复杂，常常把推理掩盖得不易看清。”4总之，这些人造的概念、模型和假设虽然使理论描述变得简明扼要，在它们好用时当然不妨利用。但它们毕竟都是人造的事物，很理想、很极端、很绝对，有时会引起问题。比如，不要轻率地用奇性势得出的结论来说物理的事物。如果用它们说事时，出现由于数学绝对化带来麻烦，要知道问题出在什么地方，该摒弃时就摒弃，注重物理、回归真实的物理世界，再行考察。对这些人造的事物不要过分执着和拘泥!对它们过分执着和拘泥将会妨碍我们对自然的正确认识。[1]P.A.M.Dirac,《量子力学原理》，北京：科学出版社，1965年

7、。5二,“人为约定无效原理”凡有“人为约定”（Descartes坐标原点和方位角选取、Lorentz参考系选定、QM表象选择、Pauli矩阵和矩阵表象选定、初始相因子约定、能量基点规定，等等）的地方，必定相应存在人们可以选择的自由度；反之亦然。non-Abelian规范场，也即非对易位相场[1]。规范理论的基本主张：“广义定域规范（位相）变换不变原理”——一个正确物理理论的必要条件是物理结论与人为约定的位相场无关。基本主张又可以称作“广义定域位相自由约定原理”。———————————————————————————[1]

8、《杨振宁讲演集》，宁平治等主编，南开大学出版社。1992年。P.342，362，370。6然而，既然一位观察者能有自己的约定，另一位观察者也就可以有他的另一种约定。但是，除了表观现象的东西外，作为自然规律，应当超越任何人为约定，体现与观察者无关的客观性和统一性。归根结底，一切人为约定都不会影响自然规律的物理内涵。总之