“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介.ppt

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1、§3.8角动量的加法一、LS的叠加例子对粒子的描述应同时考虑空间(整数角动量)与内禀自由度。如自旋1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间和自旋本征矢构成的二维空间的直积位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易：波函数空间部分基矢用

2、nlm>,对应L2和Lz的本征值分别为自旋部分

3、±>对应的S2和Sz本征值分别为转动算符：上面的态矢表示形式对应于以L2,Lz,S2和Sz的共同本征矢为基。后面会介绍态矢也可用J2,Jz,L2和S2的共同本征矢为基展开。二、SS的叠加例子两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道

4、自由度时,总自旋算符为S=S1+S2.由可导出由此知相关算符的本征值：两电子的任意自旋态可用1)S1z和S2z或2)S2和Sz的本征矢展开：1)

5、++>,

6、+->,

7、-+>,

8、-->;2)在2)中，前者为自旋三重态，而后者为自旋单态。两组基矢由即将介绍的Clebsch-Gordan(CG)系数相联系三、角动量叠加的形式理论考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足各自的角动量对易关系：但作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为定义总角动量为，简记为有限转角的形式：上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元

9、的形式。易证：因此，以前所述关于的特征与行为均成立。四、基函数1）无耦合表象相互对易,取其共同本征矢

10、j1j2;m1m2>为基2）耦合表象相互对易,取其共同本征矢

11、j1j2;jm>为基(

12、jm>)由于J2与J1z(J2z)不对易，

13、j1j2;m1m2>不是J2的本征矢，

14、jm>不是J1z(J2z)的本征矢。

15、j1j2;m1m2>和

16、jm>各是一组完备基,包含了最大相互对易算符组的集合。3）表象变换：由于对给定的（j1,j2）,m1和m2的完整组合是完备的，有：展开系数称为Clebsch-Gordan系数五、CG

17、系数的基本特征1)由可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零2)由矢量叠加模型可知，只有满足的CG系数才可能不为零。3)CG系数约定取实数（可能性见下面的递推关系），故

18、j1j2;jm>=

19、j1j2;m1m2>4)由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即正交矩阵：类似地，六、CG系数的递推关系由得用

20、左乘上式,得CG系数的递推关系：上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和归一化条件完全确定了CG系数由递推关系联系的CG系数

21、七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加j1=l,j2=S=1/2;j=l±1/2(l>0)或j=1/2(l=0).讨论j=l+1/2情形。由递推关系:即结合，得耦合态的展开：得：即：八、自旋角函数(二分量球谐函数旋量)定义：该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数由L•S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L•S的本征函数，本征值为：九、角动量叠加与转动矩阵考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R)，其直积是可约的，在合适基矢下有如下矩阵表示

22、:采用群论的记号，即直积空间：维数=N1*N2直和空间:维数=N1+N2十、CG系数与转动矩阵元之间的联系由于得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系：球谐函数与转动矩阵设，有：则(包含所有l)因即转动算符矩阵元：对m=0，十一、球谐函数乘积的展开利用CG系数所联系的转动矩阵及知球谐函数乘积可以表示成球谐函数的线性叠加：原则上，任意个球谐函数积的积分均可解析给出§3.9角动量的Schwinger’s振子模型回顾:对Euler角表征的转动，可见只要求出，，则可得到例如对j=1/2,对j=1，利用Jy=(J+

23、-J-)/2i及J±的矩阵元得：由于，用级数展开,可知最终得：类似方法可给出d(j>1)(β),但过程复杂.下面介绍简便获得d(j)的方法。角动量的Schwinger’s振子模型一、无耦合振子将无耦合的两类谐振子分别标记为“+”和“-”，有相应的产生与湮灭算符对易关系为对N±的共同本征态

24、n+,n->，有N±

25、n+,n->=n±

26、n+,n->类比单振子态可写出二、角动量和无耦合振子定义则有(满足角动量対易关系)对可有关系把“+”振子看成自旋向上1/2粒子，而“-”振子为自旋向下1/2粒子，则J+产生一自旋向上粒

27、子同时消灭一自旋向下粒子，从而角动量的z分量加。类似地，J-使总自旋z分量-在上述操作中，总粒子数(n++n-)均不变将n+与j+m对应，n-与j-m对应，则上式与熟知的算符J±、Jz及J2作用形式相同.故可用将角动量为j的体系看为(j+m)个自旋向上和(j-m)个自旋向下的粒子组成，这种等价至少对转动下的变换性质适用(具有相同的代数关系式)。但这种对应有特殊性。由于(j+m)自旋向上