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1、量子光学第三讲、玻色子算符代数与相干态表象(PartI)主要内容¢一般算符定理¢玻色子算符定理与代数¢相干态表象理论¢P表示，Q表示和R表示¢特征函数理论¢Poisson分布¢指数分布¢压缩态的Q表示©Dr.ShutianLiu@HIT2算符代数求解量子力学问题时涉及到的算符遵从不对易代数，算符和C数之间的唯一差别是：算符的书写顺序是有含义的，而C数的排序没有。另外大部分的算aa+符都可以写成和的函数形式，所以对于这样的玻色子算符以及函数的运算显得非常重要。本章给出算符特别是玻色算符运算的一般定理和代数运算法则；包括：•算符变换•玻色
2、算符的正规排序和反正规排序•特征函数与Wigner分布函数•泊松分布和指数分布•广义Wick定理*•独立原子的算符描述*•应用例子*©Dr.ShutianLiu@HIT3一般算符定理一般算符的一些定理Preliminary:任意算符B的函数f(B)可以展开成幂级数形式∞()nfBc=∑nBn=0又如果此函数作用于算符B的本征态有物理意义，则级数∞()nfbc=∑nbn=0必须收敛。其中cn是C数常数，本征值b对于厄米算符B为实数，对于非厄米算符B则为复数。定理1、如果A和B是两个非对易算符，ξ是参数，n是整数，则有ξξAn−−AξAξ
3、AneBe=(eBe)ξξAA()−−(ξAξA)efBe=feBe©Dr.ShutianLiu@HIT4一般算符定理定理2、如果A和B是两个非对易算符，且−1存在，则有An−−11nABA=(ABA)()−−11()AfBA=fABA()−−11()ABexpA=expABA定理3、如果A和B是两个特定的非对易算符，ξ是参数，则有23ξξAA−ξξeBe=+Bξ[]A,B+[]AA,[],B+[]AAA,,,[][]B+?2!3!ξξAA−证明：令f(ξ)==eBe,0f()B，按ξ的Maclaurin幂级数展开得到df==[]Af
4、,,()ξ[]ABdξξ=0ξ=02df==[]AA,,[]f()ξ[]A,,[]AB2ξ=0dξξ=0@©Dr.ShutianLiu@HIT5一般算符定理从而得到23df11df23dfff()ξξ=+()0+ξ+ξ+?dξ2!ddξξ233!ξ=0ξξ==001123=+BA[],Bξξ+[]A,[]A,B+[]A,,,[]A[]ABξ+?2!3!☆定理4、如果A和B是满足条件[]AA,,[]B==[]B,,[AB]0的两个非对易算符，则有1exp()AB+=exp(A)exp()Bexp(−[]A,B)21=exp()BAexp
5、()exp([]A,B)2群论中的Baker-Hausdorff定理特殊情形，使量子光学中重要的算符关系。对易[]qp,=iZ[]aa,1+子是C数的任意两个算符都满足这个条件，例如：和=，所以此定理有许多应用。©Dr.ShutianLiu@HIT6一般算符定理ξξAB证明：考虑算符函数f(ξ)=ee对ξ的微商dfξξABξξABξA−ξA=+AeeeeB=(A+eBe)f()ξdξξξAA−[],eBe=+BξABdf=+{}()AB+ξξ[A,B]f()dξ积分积分ξξ22()A++Bξ[]AB,,[]ABf(ξ)==ee22()
6、AB+ξe令ξ=11[]AB,eeξξAB=e()A+Be21两边右乘−[]AB,A和换B位置e211−[]AB,AB+BA[]AB,eeAB+=AeBe2ee=ee2☆©Dr.ShutianLiu@HIT7玻色子算符定理涉及到的问题：与玻色子算符的产生和湮灭算符有关的量子问题，例如：aa+•以和为函数的算符的期望值；•求解玻色子算符的Schrödinger方程玻色子算符的排序•正规顺序：将算符函数的幂级数展开式的各项中的算符a+都排在算符a的右方。即f(aa,,++)==f()nn(aa)f()a+ras∑rs,rs,+•反正规顺序
7、：将算符函数幂级数展开式的各项中的算符a都排在算符a的右方，即f(aa,,++)==f()aa(aa)f()ara+s∑rs,rs,无论算符函数采用哪种排序表示，结果相同，即f(aa,,++)==f()na(aa)f()(aa,+)©Dr.ShutianLiu@HIT8玻色子算符定理正规顺序算符和反正规顺序算符的展开形式是唯一的，所以可以将这些算符函数f()n(aa,+)（或f()a(aa,+)）和复变量*的C数函数()n*αα()f!(αα,)（或f!()a(αα,*)）一一对应。相应的函数被称为正规与反正规缔合函数。定义1、定义一
8、个线性算符N−1，它把正规顺序算符f()n(aa,+)中的a和a+α*N−+1*aalm=ααlm分别用复数变量和α代替，即{}，满足如下性质：•=N−+1*{cf()nn(a,,a)}cf!()(αα),•+N−+1*
