高等量子理论专题系列讲座

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1、高等量子理论专题系列讲座[第2讲]自由定态球面波解争论、中心场自然边条件、逆算符、Green函数方法、Lippmann-Schwinger方程求解━━从等式两边同除零说起！I，前言II，是自由粒子定态球面波解吗？1，结论及产生问题的根源2，径向波函数的自然边条件III，从此处奇性说开去（I）——中心场自然边条件的由来IV，从此处奇性说开去——（III）逆算符和算符取逆1，逆算符与算符取逆2，Fock空间算符举例3，等距算符的逆算符与共轭算符的关系V，从此处奇性说开去——（IV）Green函数方法1，Green函数与围道积分2，Gree

2、n函数与传播子VI，从此处奇性说开去——（V）Lippmann-Schwinger方程求解1，超冷全同原子凝聚体Feshbach共振的Lippmann-Schwinger方程2，Feshbach共振宽度3，Feshbach共振的散射矩阵194，磁可控，超精细诱导Feshbach共振※※※I，前言在我们上初中时候，数学老师就强调过：一个等式两边不能同除以零。要不然，导出的下一步式子可能不再成立、不再有意义。然而，人们有时候就是不注意这件事。比如，有个等式，将它两边同除以变数，就当然地写成为。如果这个变数永远不会取零值，这种除法当然不会出

3、问题。但实际是变数定义域包含了零点，于是在零点附近就要出问题。除以函数情况类似。Dirac曾强调过P.A.M.Dirac,《量子力学原理》，科学出版社，1965年。，这时一般地应当有（2.1）系数由乘以作还原计算的自洽性决定。本讲谈这个简单但却时常会犯、犯后出了状况还难于找到原因、不知怎样解决的奇性处理问题。II，是自由粒子定态球面波解吗？1,结论：不是J.R.Taylor，“ScatteringTheory:TheQuantumTheoryonNon-relativisticCollisions”，P.183，JohnWiley&S

4、ons，Inc.1972；详细参见，张永德，《大学物理》，1989年第9期。或，张永德《量子力学(第II版)》，北京：科学出版社，2010年。第4章。。表达式的确满足球坐标下自由粒子Schrodinger方程（2.2a）。但是，它却并不是直角坐标下同一Schrodinger19方程的解。因为代入之后会得到（2.2b）由于这个方程右边第二项不含波函数，它甚至连Schrodinger方程也不是。在通常验算这个解时，往往遗漏了右边含函数的第二项。对此可用半径为球体积分的办法直接检验：左边右边显然，一个物理的解不应该受坐标系选择的影响。特别是

5、它在原点附近并不满足直角坐标下Schrodinger方程，所以这个表达式不能看作是全空间中自由粒子运动的“定态解”。但从检验中也看到，表达式实际上是表示在坐标原点有个（正、负）源头不断向外（内）发散（收敛）的球面“行波解”（通过计算径向流密度分量，或配上含时因子计算相速度即知）。其中对应正源头的行波解可用来表示散射。但无论如何，它不是全空间自由粒子运动的“定态解”，后者另有表达式（见脚注2）。III，从此处奇性说开去（I）——中心场自然边条件的由来产生上述现象的原因在于：将自由运动Schrodinger方程从直角坐标转向球坐标（主要是

6、其中Laplace19算符从直角坐标表示转到球坐标表示）的转换过程中，含有除以的运算。由于的定义域包含着零点，这个运算是带奇性的：在原点附近并不合法！这样做的后果之一是，比起直角坐标方程来，球坐标方程多出了一类解——有点源存在下的行波解（出射波和入射波）。这些解与现在全空间自由运动问题全无关系！正是原点附近的奇性运算，招致出现物理上不合理的解，使两个坐标系的解集合不等价。为了剔除这些不合理的解，并提供解集合的等价性，不得不人为引入处径向波函数的自然边条件。这就是这个边条件的由来。关于处径向波函数的自然边条件，有三种不同的形式：i,有限

7、，或平方可积;ii,，或;iii,或有限，或不慢于。这三个条件一个比一个苛刻。哪一种正确?物理和数学根据如何?由于几何点本来在自然界中就不存在，所以条件i是依据波函数的物理意义，按实验测量的物理要求拟定的。到此本来就应该止步了。后面两个更严格的要求其实是非物理的。考虑到应当剔除不合理的多余解，以保证两个解集合之间的等价，正确的条件应当选用条件ii，（2.3）这个人为强加的条件，对于排除那一类由于Laplace算符在坐标系转换中不合理的奇性运算所带入的额外解（诸如）已经足够。至于条件iii的波函数在原点连续无奇性的要求应当是主观的苛求。

8、19总之，引入处径向波函数自然边条件是人为的，为了数学上逻辑自洽，并非物理的要求。IV，从此处奇性说开去——（III）逆算符和算符取逆1,逆算符与算符取逆问题张永德，《高等量子力学(第II版)》，科学出版社出版，2010