第四章随机变量的数字特征(2015年)

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1、第四章随机变量的数字特征一．考研内容提要1．随机变量的数学期望及性质（1）离散型随机变量及其函数数学期望的定义；（2）连续型随机变量及其函数数学期望的定义；（3）性质：（i）线性性质：设、是随机变量，为常数，则；（ii）若、相互独立，则2．随机变量的方差及性质（1）随机变量方差及标准差的定义；（2）性质（i）设是常数，则，特别地（ii）若、相互独立，则（可推广到有限的情形）3．重要分布随机变量的期望和方差（1）分布：，（2）二项分布：，（3）Poisson分布：，（4）几何分布：，（5）超几何分布：，（6）均匀分布：，（7）正态分布：，（8）指数分布：，4．二维随机变量的协方差、相

2、关系数和不相关（1）协方差、相关系数和不相关的定义：（2）性质：（i）协方差的性质：①；②；③；④；⑤。（ii）相关系数的性质：①；②若、相互独立，则；反之不然。③5．矩的概念和关系6．正态分布的几个重要结果（1）设、相互独立，且都服从正态分布，则、的任一线性组合（不全为零）仍服从正态分布，且；（2）服从二维正态分布。则、不相关、相互独立；（3）服从二维正态分布对于任意不全为零常数，服从一维正态分布；（4）设、相互独立，且都服从正态分布，则服从二维正态分布；（5）若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换，则该多维随机变量是多维正态随机变量。二．考研题型解析1．选择题例1已知

3、随机变量服从二项分布，，则二项分布的参数的值为（）。（A）（B）（C）（D）解应选（B）。例2已知离散型随机变量的可能取值为，则对应于的概率为（）。（A）（B）（C）（D）解应选（A）。例3设随机变量的分布函数为，其中为标准正态的分布函数，则（）。（A）0（B）（C）（D）1解应选（C）。例4设随机变量独立同分布，且方差，令，则（）。（A）（B）（C）（D）解应选（A）。例5设随机变量和独立同分布，记，则随机变量和（）。（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零解应选（D）。例6设随机变量和的方差存在且不等于零，则是和（）。（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（

4、B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件解应选（C）。例7设随机变量与独立同服从上的均匀分布，则（）。（A）（B）（C）（D）解应选（C）。例8设随机变量，且相关系数，则（）。（A）（B）（C）（D）解应选（D）。例9设随机变量与相互独立，且与存在，记，，则（）。(A)(B)(C)(D)解应选(B)。由于，，因此故选(B)。例10将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）。(A)(B)(C)(D)解应选(D)。设分别表示所截成两段木棒的长度，则，即，从而，故选(D)。例11设连续型随机变量与相互独立，且方差存在，其概率密

5、度分别为与。随机变量的概率密度为，随机变量。则（）。(A)(B)(C)(D)解应选(D)。由于因此又与相互独立，且方差存在，故由于，事实上假设，则，从而，即，不是不相关，这与，相互独立矛盾，因此，从而，故选(D)。2．填空题例1已知随机变量的概率密度函数为，则的期望为，方差为。解应填。例2设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射击目标的概率为，则的数学期望。解应填。例3设随机变量，且已知，则。解应填。例4设随机变量服从参数为的指数分布，则。解应填。例5设一次试验成功的概率为，进行100次独立重复试验，当时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。解应填，。例6设随机变量，且，

6、则；。解应填，。例7设随机变量的概率密度为，已知，，则，，。解应填12，12，3。例8投掷枚骰子，则出现点数和的数学期望为。解应填。例9设，则。解应填。例10设和是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望；方差。解应填，。因为和是两个相互独立同服从正态分布，因此，从而，，于是，又，所以。例11设随机变量服从标准正态分布，则。解应填。由于的概率密度为，因此例12设随机变量独立同分布，，则行列式的数学期望。解应填0。例13设随机变量的概率分布为，则。解由于，故，从而的分布律为即服从参数为1的Poisson分布，故，于是。例14设的联合分布律为0100.070.180.

7、1510.080.320.20则，。解应填，。例15设二维随机变量服从，则。解由于，，因此相互独立，且，，从而。3.解答题例1设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为，，又设，，（i）写出二维随机变量的联合分布律；（ii）求出随机变量的数学期望。解（i）和的可能取值为。由于总有，故故的联合分布律为12310033（ii）由（i）中的联合分布律可得的边缘分布律123故的数学期望。例2设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量