第四章随机变量的数字特征(2015)

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1、.第四章随机变量的数字特征一.考研内容提要1.随机变量的数学期望及性质(1)离散型随机变量及其函数数学期望的定义;(2)连续型随机变量及其函数数学期望的定义;(3)性质:(i)线性性质:设、是随机变量,为常数,则;(ii)若、相互独立,则2.随机变量的方差及性质(1)随机变量方差及标准差的定义;(2)性质(i)设是常数,则,特别地(ii)若、相互独立,则(可推广到有限的情形)3.重要分布随机变量的期望和方差(1)分布:,(2)二项分布:,(3)Poisson分布:,(4)几何分布:,(5)超几何分布:,(6)均匀分

2、布:,(7)正态分布:,(8)指数分布:,.4.二维随机变量的协方差、相关系数和不相关(1)协方差、相关系数和不相关的定义:(2)性质:(i)协方差的性质:①;②;③;④;⑤。(ii)相关系数的性质:①;②若、相互独立,则;反之不然。③5.矩的概念和关系6.正态分布的几个重要结果(1)设、相互独立,且都服从正态分布,则、的任一线性组合(不全为零)仍服从正态分布,且;(2)服从二维正态分布。则、不相关、相互独立;(3)服从二维正态分布对于任意不全为零常数,服从一维正态分布;(4)设、相互独立,且都服从正态分布,则服从

3、二维正态分布;(5)若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换,则该多维随机变量是多维正态随机变量。二.考研题型解析1.选择题.例1已知随机变量服从二项分布,,则二项分布的参数的值为()。(A)(B)(C)(D)解应选(B)。例2已知离散型随机变量的可能取值为,则对应于的概率为()。(A)(B)(C)(D)解应选(A)。例3设随机变量的分布函数为,其中为标准正态的分布函数,则()。(A)0(B)(C)(D)1解应选(C)。例4设随机变量独立同分布,且方差,令,则()。(A)(B)(C)(D)解应选(A)。例5

4、设随机变量和独立同分布,记,则随机变量和()。.(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零解应选(D)。例6设随机变量和的方差存在且不等于零,则是和()。(A)不相关的充分条件,但不是必要条件(B)独立的充分条件,但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件解应选(C)。例7设随机变量与独立同服从上的均匀分布,则()。(A)(B)(C)(D)解应选(C)。例8设随机变量,且相关系数,则()。(A)(B)(C)(D)解应选(D)。例9设随机变量与相互独立,且与存在,记,,则()。

5、(A)(B)(C)(D)解应选(B)。由于,,因此故选(B)。.例10将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()。(A)(B)(C)(D)解应选(D)。设分别表示所截成两段木棒的长度,则,即,从而,故选(D)。例11设连续型随机变量与相互独立,且方差存在,其概率密度分别为与。随机变量的概率密度为,随机变量。则()。(A)(B)(C)(D)解应选(D)。由于因此又与相互独立,且方差存在,故.由于,事实上假设,则,从而,即,不是不相关,这与,相互独立矛盾,因此,从而,故选(D)。2.填空题例1已知随机

6、变量的概率密度函数为,则的期望为,方差为。解应填。例2设表示10次独立重复射击中命中目标的次数,每次射击目标的概率为,则的数学期望。解应填。例3设随机变量,且已知,则。解应填。例4设随机变量服从参数为的指数分布,则。解应填。例5设一次试验成功的概率为,进行100次独立重复试验,当.时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为。解应填,。例6设随机变量,且,则;。解应填,。例7设随机变量的概率密度为,已知,,则,,。解应填12,12,3。例8投掷枚骰子,则出现点数和的数学期望为。解应填。例9设,则。解应填。例10设和是两

7、个相互独立同服从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望;方差。解应填,。因为和是两个相互独立同服从正态分布,因此,从而,,于是,又,所以。例11设随机变量服从标准正态分布,则。.解应填。由于的概率密度为,因此例12设随机变量独立同分布,,则行列式的数学期望。解应填0。例13设随机变量的概率分布为,则。解由于,故,从而的分布律为即服从参数为1的Poisson分布,故,于是。例14设的联合分布律为0100.070.180.1510.080.320.20则,。解应填,。.例15设二维随机变量服从,则。解由于,,因此相互

8、独立,且,,从而。3.解答题例1设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,,又设,,(i)写出二维随机变量的联合分布律;(ii)求出随机变量的数学期望。解(i)和的可能取值为。由于总有,故故的联合分布律为12310033(ii)由(i)中的联合分布律可得的边缘分布律123.故的数学期望。例2设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量

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