第四章随机变量的数字特征

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1、第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第三节协方差及相关系数第四节矩、协方差矩阵第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数，从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律。但在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道它的数字特征即可。§4.1数学期望例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律X10987Y10987Pk0.60.10.20.1Pk0.40.30.10.2试问甲、乙两射手的

2、射击水平哪个较高？解由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。（环）定义1设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望.记为E(X)．即定义2连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即[注]数学期望简称为期望，又称为均值.例1设X~(),求E(X)解X的分布律为E(X)=例2设X~U(a,b),求E(X)解X的概率密度为E(X)=例3设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk

3、(k=1,2,..,5)均服从同一指数分布，其概率密度为求将这5个元件(1)串联，(2)并联组成系统的平均寿命．(1)串联时系统寿命，其分布函数为解Xk的分布函数为(2)并联时系统寿命，M的概率密度为其分布函数为例4某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X(以年记),规定:X1,一台付款1500元;13,一台付款3000元.试求该商店一台电器收费Y的数学期望.设寿命X服从指数分布,概率密度为解一台收费

4、Y的分布律Y1500200025003000pkP{X1}P{13}0.09520.08610.07790.7408E(Y)=2732.15练习：设X~N(,2)，求(1)X(离散型)的分布律为：若级数绝对收敛，则(2)X(连续型)的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则定理1设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g为连续函数)随机变量的函数的数学期望Y=g(X)证（1）由离散型随机变量的函数的分布，有（2）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为例5

5、设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力W=kV2,(k为常数),求W的数学期望．解风速V的概率密度为例6国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a,b)上的均匀分布．设每售出该商品一吨可以为国家创汇s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损l万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？解设组织货源为t（吨）,由题意a≤t≤b,收益Y是X的函数：令得:(3)若(X,Y)是离散型，其分布律为(4)若(X,Y)是连续型，其概率密度为f(x,y)，则定理推广：则定

6、理推广：设Z=g(X,Y)（g为二元连续函数),求的数学期望．Y1210.40.220.30.1XY21428例7设(X,Y)的联合分布律为解(X,Y)的取值及对应的概率如下表:(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)pk0.40.30.20.1X+Y2334X(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为则结论：(2)若(X,Y)是连续型，其概率密度为f(x,y)，则例8设(X,Y)的概率密度为求数学期望E(Y),E(1/XY).解xy=1oxyx=y1假设以下随机变量的数学期望均存在．1.E(

7、C)=C,（C是常数）2.E(CX)=CE(X),（C是常数）3.E(X±Y)=E(X)±E(Y),4.设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)数学期望的性质:[注]性质3.4.可推广到有限个的情况.证(仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4)设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为fX（x,y），fY（x,y），则又若X与Y相互独立，则由题意[注]这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.例9一民航机场的送客车

8、，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)．解引入随机变量则练习：设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）求X、Y及XY的数学期望012xyG解法一：由已知得解法二：同理解由于X与Y相互独立，则与也相互独立，例10设X,Y相互独立,分别服从参数为,的指数分布试求例设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分别用X、Y表示，分布律