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1、第四章随机变量的数字特征数学期望§4.1例1：甲乙两人进行射击，射击的环数X、Y的分布律如下，问哪个射手水平较高？X8910Pk0.10.70.2Y8910Pk0.350.40.25设X是离散型随机变量，它的分布律是:P(X=xk)=pk,k=1,2,…如果有限,定义X的数学期望定义否则称X的数学期望不存在。■离散型随机变量的数学期望例2：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，设他每发命中的概率是p，求平均射击次数。例1：求0-1分布，泊松分布的数学期望。设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果绝对收敛,则定义X的数学期望为定义否则称X的数学期望不存在.■连续型随
2、机变量的数学期望例5:设X~N(μ,σ2)，求E(X).例4.X~U[a,b],求E(X).练习1.X的密度函数如下，求E(X).练习2.X的密度函数如下，求E(X).设已知随机变量X的分布，试计算X的某个函数g(X)的期望？多维情况下g(X,Y)的期望呢？设X是一个随机变量，Y=g(X)，则当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).注意:同样需要满足绝对收敛!■随机变量函数的数学期望例6：已知离散型随机变量X的分布列为例7：设X~N(0,1)，求E(
3、X
4、).求X2的数学期望。X-2-1012Pk0.10.30.30.20.1设(X,
5、Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则二维随机变量函数的数学期望XY10101/103/103/103/10例8：设（X,Y）联合概率分布为：求E(X+Y),E(XY)例10.设X,Y独立且均服从[0,1]上的均匀分布，求Emin(X,Y).例9.设随机变量X，Y相互独立，且均服从N(0,1)，求。2.设随机变量Ｘ的概率密度为Y=e-2X,则EY=()1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为则E(XY)=()练习XY0120121/31/61/901/61/9001/91.设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;2.E(X+Y)=E(X)+E(Y);■数学期望
6、的性质3.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);例9：设X~B(n,p),求E(X).例10:n台机器独立工作，各自发生故障的概率为p1,p2,…,pn,求发生故障的机器数的期望.例11：设送客汽车载有m位旅客，自始发站开出，旅客有n个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。设每位旅客在各站下车是等可能的，求平均停车次数。复杂问题转化成简单问题作业：1.设X,Y独立且均服从[0,1]上的均匀分布，求E
7、X-Y
8、.2.习题4第5，73.模拟题4第5题§4.2方差例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图，
9、试比较测量精度。乙仪器测量结果甲仪器测量结果又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图，试比较精度.甲炮射击结果乙炮射击结果中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是：方差甲乙两部机床生产同一种机轴，其直径尺寸与轴的标准直径10mm的差值如下,比较两部机床的精度。X-1.0-0.50.51.0Pk0.20.40.20.2Y-2-112Pk0.20.30.30.2采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用由于标准差与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.方差的算术平方根称为标准
10、差设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2<∞，则称D(X)=E[X-E(X)]2(1)为X的方差.■方差的定义X为离散型，P(X=xk)=pkX为连续型，X~f(x)已知X的概率分布，方差如何计算？D(X)=E(X2)-[E(X)]2E(X)=-2,D(X)=3,则E(3X2–6)=?例1.设X服从参数为p的0-1分布，求D(X).例2.设X~N(μ,σ2)，求D(X).■常见分布的期望和方差名称概率分布期望方差两点分布二项分布泊松分布正态分布均匀分布指数分布推论1：常数的方差等于零，即：D(C)=0推论2：设X是一个随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X)1.
11、设a,b是常数，则D(aX+b)=a2D(X);推论3：D(X)=D(-X)■方差的性质一般地：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2.设X,Y为相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)例3.设X~B(n,p),求D(X).推论1：设X,Y为相互独立的随机变量，a,b是常数，则D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)推论2：设X,Y为相互独立的随机变量，则D(X-Y)=D(X)+D(Y)X,Y相互独立，则aX+bY,aX-bY服从什么分布？例5.设随机变量X、Y相互独立，
