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1、第四章随机变量的数字特征[本章要求]1.掌握数学期望、方差的概念、性质和计算方法。2.掌握并熟记，（0—1）分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布的数学期望和方差。3.了解协方差、相关系数、矩的概念，并掌握它们的性质和计算方法。[内容提要与疑难解析]一、数学期望的定义定义1（一维离散型）设离散型随机变量X的分布律为P{X=}=,k=1,2…若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记作E(X)。即E(X)=定义中要求级数绝对收敛，这一条件值得注意，绝对收敛是保证其和不会因各项的次序改变而发
2、生变化。而条件收敛的级数，若改变各项的顺序可使之发散或收敛到不同的和，这显然与实际意义不相符合。正是因为要保证级数绝对收敛，因此有些随机变量就不存在期望值了。例1随机变量X的取值为=，k=1,2…对应的分布律为，k=1,2…由于==-ln2而==因此，E(X)不存在。定义2（一维连续型）设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称积分的值为（均值），记为E(X)，即E(X)=在这个定义中要求广义积分绝对收敛，理由与定义1中相类似，随机变量的数学期望，是刻画随机变量取值平均大小的一个数学特征。例2设随
3、机变量X服从哥西分布]（cauchy）即，它的分布密度为，求E(X)解由于====ln(1+)=ln(1+)=故E(X)不存在。定义3（二维随机变量）若二维随机变量（X,Y）的两个分量X,Y都具有数学期望E(X)，E(Y),则称(E(X),E(Y))，为二维随机变量（X,Y）的数学期望。从定义3中可以看出，二维随机变量的数学期望不过是一维情形的推广。所以，一般教材中不给与介绍，而是给出比这个概念更重要的Z=g（X,Y）的数学期望的计算公式：设为离散型随机变量，其概率分布为P{X=X,Y=}=,i,j=1,2…若绝对
4、收敛则E(Z)=E[g(X,Y)]=设（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x,y)若绝对收敛则E(Z)=E[g(X,Y)]=数学期望是一个非常重要的概念，它在很多方面都有重要的应用，下面我们仅以一个例子来说明它在最优决策方面的应用。例3假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（单位吨），它服从[2000，4000]均匀分布，设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问题是要确定应组织多少货源，才能使国家的收益最大。解以y记预备某年出
5、口的此种商品量（显然可以考虑20004000的情况），则收益（单位：万元）而===+=[-]对上式求导，并令=0，可得当y=3500时达到最大值，因此组织3500吨此种商品是最好的决策。一、数学期望的性质1设C是常数，则有E(C)=C2设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)3设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)4设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(X,Y)=E(X)E(Y)上述性质中(3)非常重要，将一个随机变量分解成两个（或多个）随机变量之和，然后利用该性质可以很简便求
6、出数学期望，这种处理方法具有实际意义。例4求超几何分布m=0，1，…，n的数学期望。解此题当然可以用定义直接求出，但也可以用下面方法计算设想一个相应的不放回抽样，令则因此，而表示几次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质(3)得到一、方差定义4设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]}存在，则称为X的方差，记为D(X)，或Ｖａｒ(X)，即Ｄ(X)＝Ｖａｒ(X)＝而称为Ｘ的标准差或均方差。方差的计算对于离散型的随机变量；若其分布律为则其方差为对于连续型随机变量，其概率密度为f(x),则其方差为方差除了利用上
7、述公式计算外，也可以利用下面的公式来计算。从方差的定义中，我们可以看到，方差实际上就是随机变量函数的数学期望，因此方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度，在实际问题中方差可以帮助我们更好地了解随机变量的取值情况，是分散还是集中。例5设在同一组条件下独立地对某物体的长度a进行了几次测量，第k次测量的结果为，它是随机变量。又设(k=1,2,…,n)服从,试计算几次测量结果的平均长度的数学期望和方差。解由数学期望的性质可得==a而(此处用到了方差的性质(3))。上述结果表明，几次测量结果的平均值的期望恰好是物体的长度a
8、，而几次测量结果的平均所产生的离散程度（或说绝对误差）比一次测量的偏离程度（或说误差）来得小，因此在实际测量中常常利用这一结果，以减小误差。一、方差的性质1.设C是常数，则D(C)=02.设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=D(X)3.设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)4.D(X)=0,的充分必要条件是X以概率1取常
