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1、第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望§4.2方差一、填空题1.同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为2；2.已知随机变量的分布律为:012340.20.30.10.20.3则的期望37.7；3.已知随机变量,,则二项分布的参数为6,0.4；4.设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则2；5.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望4/3；6.若、是两个相互独立随机变量，且则–19.若则143；7.已知连续型随机变量的概率为,则的数学期望为1,的方差为0.5；8.设随机变量X的概率分布为，，则=2。二、选择题1.设X表示5次独立重复射击命中目
2、标的次数，每次射中目标的概率为0.7，则的数学期望（A）（A）13.3；（B）18.4；（C）4.55；（D）1.05.2.设随机变量相互独立，其中上的均匀分布，，记，则（A）（A）46；（B）14；（C）4；（D）100.3.已知随机变量的数学期望为，对任意的，正确的是（C）（A）；（B）；（C）；（D）.4.设随机变量X的分布函数，其中为标准正态分布函数，则（C）（A）0;(B)0.3;(C)0.7;(D)1.5.设，则（D）（A）0;（B）1;（C）0.5;（D）不存在.二、计算下列各题1.设球直径的测量值在上服从均匀分布,求球体积的数学期望。解设球的直径为,其概率密度为2.设随机变量服
3、从上的均匀分布，,求的数学期望和方差。解的概率密度，。3.在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。解:以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置，∴，，，，令，这时∴。4.某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。解“第次命中目标”,……)=…,取所以,,取＜1故从而。5.设轮船横向摇摆的振幅的概率密度为，为常数试确定常数,并求和。解1230.20.1000.100.310.10.10.16.设的联合分布为右表求设、求设、求。解-1-010.20.100.40.10.10.10149160.10.20.30.
4、40。7.设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量的方差。解令。8.箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则为多少？解：条件期望的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望，先要求得条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故 ， ， ，由此可算得下的条件期望。9.某大楼共有10层，某次
5、有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为，设表示第k人在第i层下电梯，则有，又设，则因此，电梯停的总次数为，。10.设随机变量X的概率密度为已知:E（X）=0.5,D（X）=0.15,求系数a、b、c。解：由密度函数性质及已给条件，知有，，，，，，，三个方程，三个变量，解之可得：。11.设随机变量X，Y相互独立，且都服从，设，求。解：设，则，由于X与Y相互独立，则有而，则有。因此。四、证明题设随机变量X
6、和Y相互独立，试证明．证明： ，因为X和Y相互独立，所以有，又 ，从而有 。§4.3协方差和相关系数§4.4原点矩与中心矩一、填空题1.已知随机变量,且相互独立,设随机变量则～；2.已知；3.随机变量，则；4.已知服从二维正态分布，且若与Y独立，则等于；5.某学生做一物理实验，独立重复试验了100次，假设每次试验成功的概率为，则当成功次数的标准差达到最大时为1/2。二、选择题1.如果和满足,则必有（B）(A)和独立；(B)和不相关；(C)=0；(D)2.设随机变量和独立同分布,记则和必然（D）(A)不独立；(B)独立；(C)相关系数不为零；(D)相关系数为零.3.设随机变量，且相关系
7、数，则（D）；；；.4.设随机变量满足，则为（D）（A）16；（B）-9；（C）12；（D）-14.5.设随机变量X和Y的相关系数为0.8，若，则Y与Z的相关系数为（D）（A）0；（B）1；（C）0.4；（D）0.8.6.下列命题错误的是（B）（A）X与Y不相关则；（B）X与Y不相关则X与Y相互独立；（C）随机变量X的方差；（D）.三、计算下列各题1.若随机变量在区域上服从均匀分布,求随机变量,的
