画法几何投影变换

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1、第九讲投影变换§5-1概述§5-2换面法基本要求§5-3旋转法基本要求（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。（4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求线段实长的作图方法。§5-1概述当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置

2、时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题。将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的位置，一般有三种途径，即：几何元素不动，变换投影面称换面法；投影面不动，变换几何元素称旋转法；几何元素和投影面都不动，变换投影方向称换向法；aabbbaabccddaabbccaabb两点之间距离aabbcc三角形实形一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比aabbccddabbc

3、cdd直线与平面的交点abcdabc(d)两平面夹角θa§5-2换面法换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。一、换面法的基本概念二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律四、六个基本问题VAHCBcbXaabc一、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。V/H体系变为V1

4、/H体系c1b1a1(b)cabacX新投影面V1⊥H新轴旧投影面旧轴保留的不变投影面新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于保留投影面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a1二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律1、点的一次变换2、点的投影变换规律3、点的两次变换a1aXVHaVHXX1HV1V1a1′X1V1a1aAa2点的投影变换规律1、点的新投影和保留投影的连线，必垂直于新投影轴。2、点的新

5、投影到新投影轴的距离，等于点本次被换掉的旧投影到本次被换掉的旧投影轴的距离。1点的一次变换点在V/H1体系中的投影X1H1Va1VHXaAaa1H1H1X1a1X1XVHaaa′a1⊥X1a1x1﹦axx1xVXHa2aaa1XVHX1HV13点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线思考题1思考题2例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面例题3例题45、把投影面垂

6、直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面例题5VHXAaBbabV1X11、把一般位置直线变为投影面平行线a1b1a1b1X1V1HbabaXVHSC例题1求直线ΑΒ的实长及倾角β。babaXHVX1H1Va1b1SCVHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa12、把投影面平行线变为投影面垂直线bbSCAB（b1）a1H1(b1)3把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）X2H2V1aaXVHbba2（b2）X1HV1a1b1aaXb

7、bcc思考题1如何求点C到直线AB的距离？X2H2V1aaXVHbba2b2X1HV1a1b1提示VH把一般位置直线变为投影面垂直线aaXbbcdcd思考题2如何求两直线AB与CD间的距离？X2H2V1aaXVHbba2b2X1HV1a1b1V提示HX2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222例题2求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短距离。H2SCacXVHbbacVHXcbabCAcBadd

8、DX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d14、把一般位置平面变为投影面垂直面k1X1H1Vb1a1c1d1s1acbbacss'例题3求点S到平面ABC的距离。SCHVXddacbbaceNkeNddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例题4已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。VHcbXCABbcaabcabacXH