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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS编号学士学位论文矩阵的秩的若干等价刻画学生姓名学号系部专业年级指导教师完成日期年月日25学士学位论文BACHELOR’STHESIS摘要本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有关的一些命题.关键词:矩阵;秩;等价刻画SeveralEquivalentCharacterizationsofMatrixRankAbstractFromtheDeterminant,LinearSpace,LinearE
2、quations,LinearTransformation,OffsetStandard,Vectors,Matrices,equivalenceanddecompositionofvariousanglestocharacterizetheRankofMatrix,andthustoprovethesepropositionsandRankoftheMatrixrelatingtoanumberofpropositions.KeyWords：Matrix;Rank;EquivalentCharacterization;25学士学位论文
3、BACHELOR’STHESIS目录摘要1ABSTRACT1引言21.预备知识31.1矩阵的基本概念31.2矩阵秩的求法51.3矩阵的相关定理62.矩阵的秩的等价描述73.关于秩的命题(Ⅰ)104.关于秩的命题(Ⅱ)125.应用20参考文献24致谢····························································2525学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言矩阵的秩是线性代数的一个根本内容,它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩阵的重要性质之一.在区分向量组的线性相关性,求矩阵
4、的特征值,线性方程组有无解,在多项式,维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在论文[1]高朝邦,祝宗山,关于矩阵的等价描述[J];成都大学学报(自然科学版)第25卷,第1期,2006年3月.中写了矩阵的秩的等价描述的命题,并给出了相关的证明.本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变换、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来描写矩阵的秩的若干命题,并用这些命题来证实与矩阵的秩有关的一些命题.希望通过这些等价命题加深对线性代数的理解,对更好的掌握矩阵的秩的这一层次的理解起到帮助,使之在以后的数学学习中得
5、到启发.1.预备知识1.1矩阵的基本概念定义1.1.1[2]同济大学数学系编,《工程数学线性代数(第6版)》[M];高等教育出版社2014年6月.数域中个数排列成的行列数表,记做称为矩阵,还可以记成或等.设是的一个矩阵,是一个的矩阵,将和的乘积称为,其中负矩阵令,则的负矩阵为.25学士学位论文BACHELOR’STHESIS矩阵减法.定义1.1.2[3]徐松山,浅议线性代数中的行列式教学[J];山西广播电视大学学报2000,第5卷第1期.设,数与矩阵的乘积被记为,根据向量的数乘运算,显然有注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性
6、运算,它们与行列式的运算定义区别很大. 矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设皆是同型矩阵,,为数).(1)矩阵加法的交换律:(2)矩阵加法的结合律:(3右加零矩阵律:(4)右加负矩阵律:(5)1乘矩阵律:(6)数乘矩阵的结合律:(7)矩阵对数加法的分配律:(8)数对矩阵加法的分配律:定义1.1.3[4]吴赣吕,线性代数[M];北京;中国人民大学出版社,2011.阶子式:设在中任意取行列交错处的元素,然后按原来相应位置组成的阶行列式,被称为的一个阶子式.例1.1共有个二阶子式,并含有4个三阶子式,矩阵的第一、三行,第二、四列交错处的元素所
7、形成的二阶子式为,而为的一个三阶子式.因而,矩阵总共有个阶子式.定义1.1.4[5]宋晓辉,数学逻辑在线性代数中的应用[J];科技世界2005年02期.令有阶子式不为,任意阶子式(若存在的话)全为25学士学位论文BACHELOR’STHESIS,则被称为矩阵的秩,可记成或或秩.规定:零矩阵的秩为.注意:(1)例如,,则中至少有一个阶子式,全部阶子式等于,且更高阶子式均为,那么是中不等于零的子式的最高阶数.(2).(3).(4)若且,则.反之,如,则因此,是方阵可逆的充要条件.(5)矩阵行向量的秩被称为矩阵的行秩;矩阵列向量的秩被称为矩阵
8、的列秩.(6)向量组的线性极大无关组中所具有向量的个数被称为这个向量组的秩.1.2矩阵秩的求法1.2.1子式判别法(定义)例1.2设阶梯形的矩阵,求.解由于,存在一个二阶子式不等于,然而任何三阶子式都等于,
