矩阵的秩的若干等价刻画-学士论文

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1、编号矩碎的佚的若干等价刻画学生姓名学号系部专业_年级指导教师完成日期年月曰嗲士嗲依铪夂BACHELOR’STHESIS摘要木文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有关的一些命题.关键词：矩阵;秩;等价刻画SeveralEquivalentCharacterizationsofMatrixRankAbstractFromtheDeterminant，LinearSpace,LinearEquations，LinearTransformation，Off

2、setStandard，Vectors，Matrices，equivalenceanddecompositionofvariousanglestocharacterizetheRankofMatrix，andthustoprovethesepropositionsandRankoftheMatrixrelatingtoanumberofpropositions-KeyWords：Matrix;Rank;EquivalentCharacterization;嗲士嗲依铪夂BACHELOR’STHESIS嫉1ABSTRACT1引言31.预备知识31.

3、1矩阵的基本概念31.2矩阵秩的求法51.3矩阵的相关定理72.矩阵的秩的等价描述73.关于秩的命题（I）114.关于秩的命题（II）125.颜21参考文献24卽射25嗲士嗲依铪夂BACHELOR’STHESIS引言矩阵的秩是线性代数的一个根本内容，它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩阵的重耍性质之一.在区分向量组的线性相关性，求矩阵的特征值，线性方程组有无解，在多项式，维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在论文llj中写了矩阵的秩的等价描述的命题，并给出了相关的证明.本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变换、相

4、抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来描写矩阵的秩的若干命题，并用这些命题来证实与矩阵的秩有关的一些命题.希望通过这些等价命题加深对线性代数的理解，对更好的掌握矩阵的秩的这一层次的理解起到帮助，使之在以后的数学学习中得到启发.1.1矩阵的基本概念定义1.1.1⑵数域尸屮mxn个数七(/=1，2,…，=1，2,…排列成的m行n列数表，记做_a2a22…a2n••參••參••攀•••称为mxn矩阵，还可以记成或等.设A=(〜)是mxs■的一个矩阵，B=(/?..)是一个sx/2的矩阵，将A和B的乘xJvz5X/

5、i积称为C==，其中fmxnCij=aiAj4-ai2b2j+…(Z•二1，2,•••m;y=1，2,…，n)k=i负矩阵^A=(aij)mxnf则A的负矩阵为-4=(-七嗲士嗲依铪夂BACHELOR’STHESIS矩阵减法A—B=A--(―B)=(a..—bvI.定义1.1.2［3］设A=，数A与矩阵的乘积4被记为AA,根据向量的数乘”fmxn运算，显然有注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性运算，它们与行列式的运算定义区别很大.矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设/l，B，C，O皆是同型矩阵，A，//，为数).⑴矩阵加法的交

6、换律：(2)矩阵加法的结合律：(A+fi)+C=A+(B+C)(3右加零矩阵律：A-^O=A(4)右加负矩阵律：A+(-A)=O(5)1乘矩阵律：M二/1(6)数乘矩阵的结合律：A(//A)=(A//)A(7)矩阵对数加法的分配律：(乂+//)/I=/L4+/M(8)数对矩阵加法的分配律：A(A+B)=zM+Afi定义1.1.3(4］々阶子式:设A=在A中任意取々行々列交错处的元素，然vJmxn后按原来相应位置组成的k(

7、—-=18个二阶子式，并含冇4个三阶子式，矩阵A的第一、三行，第二、四列交错处的元素所形成的二阶子式为2-10-1，而D312345610-1为A的一个三阶子式.因而，mxn矩阵A总共有«个々阶子式.定义1.1.4［5］令A=有z•阶子式不为0,任意r+1阶子式(若存在的话)全yhnxn嗲士嗲依铪夂BACHELOR’STHESIS为0，则z•被称为矩阵A的秩，可记成/?(4或rank(或秩).规定:零矩阵的秩为0.注意：(1)例如，卜r,则4中至少有一个z*阶子式£)、矣0,全部r+1阶子式等于0，且更高阶子式均为0,那么r是A屮不等于零的子

8、式的最高阶数.(2)R(A)=R(At).(3)/?(A)9、A卜0因此，/?(A)=