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1、§2.3向量组线性相关性的等价刻画§2.3向量组线性相关性的等价刻画定理2.2.向量组1,2,…,s线性相关存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使得k11+k22+…+kss=0.证明:()1,2,…,s线性相关r(A)2、+kss=0.根据推论2.1可知1,2,…,s线性相关.1=k1k22k1k33k1kss…因而1,2,…,s能由2,…,s线性表示.第二章n维列向量§2.3向量组线性相关性的等价刻画推论2.4.若1,2,…,s线性相关,反之,若1,2,…,s,s+1,…,t线性无关,则1,2,…,s也线性无关.则1,2,…,s,s+1,…,t也线性相关.第二章n维列向量§2.3向量组线性相关性的等价刻画若向量组,,…,线性相关,其中1,2,…,s是维数相同的列向量,1,2,…,s也是维数相同的列向
3、量,则1,2,…,s也是线性相关的.反之,若1,2,…,s线性无关,则也是线性无关的.,,…,1122ss1122ss第二章n维列向量§2.3向量组线性相关性的等价刻画推论2.5.1,2,…,s线性无关由k11+k22+…+kss=0可推出k1=k2=…=ks=0.例2.6设n维列向量和nn矩阵A满足Ak10,但Ak=0,证明:向量组,A,A2,…,Ak1线性无关.第二章n维列向量§2.3向量组线性相关性的等价刻画定理2.3.向量组1,2,…,s线性相关1,2,…,s至少有一
4、个可以由其余s1个向量线性表示.定理2.4.若向量组1,2,…,s线性无关,而1,2,…,s,线性相关,则一定能由1,2,…,s线性表示,并且表示的方式是唯一的.第二章n维列向量§2.3向量组线性相关性的等价刻画例2.7证明:n个n维列向量1,2,…,n线性无关的充分必要条件是:任何一个n维列向量都能由1,2,…,n线性表示.证明:(充分性)任何一个n维列向量都能由1,2,…,n线性表示1=100…,2=010…,…,n=001…都能由1,2,…,n线性表示n=r(1,…,n)r(1,…,n
5、)n…第二章n维列向量§2.3向量组线性相关性的等价刻画证明:(必要性)由于n+1个n维列向量总是线性相关的,所以1,2,…,n,线性相关.又因为1,2,…,n线性无关,根据定理2.4可知都能由1,2,…,n线性表示.第二章n维列向量例2.7证明:n个n维列向量1,2,…,n线性无关的充分必要条件是:任何一个n维列向量都能由1,2,…,n线性表示.
