向量组的线性相关性的等价条件及其应用.pdf

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1、第19卷　第2期邢台职业技术学院学报Vol.19No.22002年6月JournalofXingtaiVocationalandTechnicalCollegeJun.2002向量组的线性相关性的等价条件及其应用贾寅戌(邢台职业技术学院基础部　河北邢台　054000)摘　要:向量组的线性相关性是线性代数中的重要概念,也是解决问题的重要的理论根据。本文首先给出了不同的角度下向量组的线性相关性的几个等价条件,并通过具体例题分别用不同的解法,阐述了在不同理论深度下解决问题的区别。关键词:线性相关与线性无关;矩阵的秩;等价;线性方程组;非

2、奇异阵中图分类号:Q15112　文献标识码:A　文章编号:1008-6129(2002)02-0041-04______设有n维列向量组A:α1,α2,⋯,αm记矩阵A=(α1,α2,⋯,αm)=(αij)nxm,则向量组A的线性相关性,_矩阵A的秩,齐次线性方程组XA=0(其中X=(x1,x2,⋯,xn)的解,矩阵A的非零子式等概念有着很强的内在联系,将它们之间的等价条件统一起来,可以加深对这些概念的理解和应用,也可以从不同的角度和深度来处理问题。一、向量组的线性相关性的几个等价条件__1.向量组的线性相关性的定义:若存在一组不

3、全为零的数λi=(i=1,2,⋯,n),使得,λ1α1+λ2α2+n___⋯+λnαn=∑λiαi=0,则称向量组A线性相关,否则,称向量组A线性无关。i=12.若向量组(或矩阵)A的秩R(A)=r,则rn时,向量组A必线性相关。[1][2]6.若矩阵A有一个m阶非零子式,则向量

4、组A线性无关。7.向量组等价的概念:若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称向量组A与向量组B等价,记为A～B。[1]8.所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。9.矩阵乘积后秩不可能变大,即对任意矩阵A和B,有[1][2]R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B)10.矩阵A乘一个非奇异阵(可逆阵)P后,不改变矩阵A的秩,从而不改变向量组A的线性相关[1][2]性。T11.对任意实矩阵A,有矩阵AA与矩阵A秩相等,即T[2]R(AA

5、)=R(A)______12.设有n维列向量组A:α1,α2,⋯,αr线性无关,显然r

6、2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,试证向量组____B:β1,β2,β3,β4,线性相关。_________[证Ⅰ]因为,β1-β2+β3-β4=0,所以向量组B:β1,β2,β3,β4线性相关。_____[证Ⅱ]记λ1β1+λ2β2+λ3β3+λ4β4=0,则有_____(λ1+λ4)α1+(λ1+λ2)α2+(λ2+λ3)α3+(λ3+λ4)α4=0____因为α1,α2,α3,α4线性无关,所以上式的系数全为零,即得线性方程组λ1+λ4=0,1001λ1+λ2=0,1100其系数行列式

7、B

8、==0λ2+λ3=0,

9、0110λ3+λ4=00011____方程组有非零解,所以向量组B:β1,β2,β3,β4线性相关。________[证Ⅲ]记(β1,β2,β3,β4)=(α1,α2,α3,α4)K,由行列式100111111100r1+r3,r2+r41111

10、K

11、==00110011000110011____所以向量组B:β1,β2,β3,β4线性相关。例1给出的三种证明方法.证法Ⅰ正好凑成向量组线性相关的条件,这种方法具有很大的偶然性;证法Ⅱ利用了向量组线性相关性的定义,来寻找可以存在非零的系数λi(i=1,2,3,4),从而说明向量组是线

12、性相关的,这种方法具有一般性,是讨论向量组线性相关性的基本方法;证法Ⅲ的立脚点就比较高,得到的结论是因为

13、K

14、=0,由B=AK,可知向量组B的秩小于向量组A的秩,而R(A)=4,则R(B)<4,即向量组B的秩小于它的向量的个数,所以向量组B线性相关