Ω-群范畴的等价刻画

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1、2【】卷第2j9】模糊系统与数学Vo1．29，No．22Ol54JjFuzzySystemsandMathematicsApr．，2O15文章编号：1001—7402(2015)02—0039—06一群范畴的等价刻画苑呈涛，汤建钢(fJ}犁帅范院数学j统计学院，新疆伊宁835000)摘要：引入由n一集范畴上的群对象所构成的范畴Grp(．5f(力))，证明了此范畴与n一群范畴是同构的。关键词：n一群范畴；力一集范畴；群对象中图分类号：O154文献标识码：A1引言及预备知识群对象可以理解为将群这种结构建立在其他结构上，不同范畴上的群对象有不同的表示，例如集合范畴上的群对象表示一个群而拓扑空间范畴

2、上的群对象表示一个拓扑群。本文引人一集范畴上的群对象的概念，讨论力一集范畴上的群对象所构成的范畴与一群范畴之间的关系，证明了这两个范畴是同构的。本文用表示集合范畴，·表示单点集，即集合范畴的终对象，用户表示群范畴，表示一个Locale，即完备的Heyting代数，1表示中的最大值。设，B，∈o6()，AIIB是A和B的乘积，如果有态射厂：x—，厂2：x—B，则有下面图表交换：ABPlP2本文把厂记作3(f。，f2)。定义1．1⋯设是一个具有有限乘积的范畴，丁是范畴的终对象。(1)中的一个群对象G一(c，，rl,)是一个四元组，其中C是范畴中的一个对象，，，是范畴中的态射，：CIIC---~C

3、，：71一c和：(一c，使得下面的图表交换：收稿日期：2013—12—26；修订日期：2015—01—18基金项目：国家自然科学基金资助项目(11161050；31424020)；新疆维吾尔自治区普通高等学校重点学科经费资助项目(2012ZDXK01)作者简介：苑呈涛(1987一)，男，伊犁师范学院数学与统计学院研究生，研究方向：范畴逻辑与类型理论；汤建钢(通讯作者)(1959一)，男，伊犁师范学院数学与统计学院教授，研究方向：范畴逻辑与类型理论。40模糊系统与数学2015矩CIICHCHCCHC——百—_÷CTHCCHCCIIT———一———5(idllc，e)ll5(~,idc)l』CⅡ

4、C一CCIIC一C(2)设G一(C，／1，j7，)，G一(C，／1，，)是范畴中的两个群对象。一个内部群同态：G—G是中一个态射：c—c使得下面图表交换：CIIC竺CT—+CCC，lJ川』CC

5、—-—C

6、C

7、C

8、——}c’“(3)设G一(c，，，)，G一(c，，，)，G一(c”，，，)是范畴中的群对象，：G—G和：G一G”是内部群同态。将中态射的复合·：C—c”定义为内部群同态的复合·：G—G”．(4)设G一(c，，，)是中的一个群对象。将中的单位态射c：c—c定义为单位内部群同态G：G—G．引理1．1E设是一个具有有限乘积的范畴，则以中群对象为对象，以内部群同态为态射构成一个范畴，记作Gr

9、p()。例1．1集合范畴￡具有有限乘积，而且Grp(．~et)就是通常的群范畴户．定义1．2L设X∈ob(~et)，称映射：X—n为Q子集，偶序(X，A)为n一集合。定义1．3_2设(x，)，(y，B)，(z，c)是一集合。(1)若映射厂：x—y满足≤B。厂，则称厂是由(x，)到(y，B)的n映射。(2)设f：(x，)一(y，B)，g：(y，B)一(z，c)，则复合g。f：X—z即为映射的复合g。f：(x，)一(Z，C)。(3)设(x，)是一个一集合，其单位映射1(x一1x．注1．1这里的A≤B。厂等价于对于任意的zEX有A(z)≤B(厂(z))。以集合作为对象，映射作为态射，构成一个范畴，

10、称为一集范畴，记作()。引理1．2[2设(x，A)Eoh(())，iEI，则{(X，)，iEI)是诸(x，A)在范畴f(力)中的乘积，其中P：(X，A)一(X，A)，当且仅当：第2期苑呈涛，汤建钢：n一群范畴的等价刻画41(i){x，PiEI)是诸X在范畴中的乘积；(ii)=：=八{APiEI)。定义1．4E。设G是一个群，是一个Locale，A：G一是一个映射，满足：(1)()一1，其中e是群G的单位元，1是中的最大值；(2)对于任意的z，yEG，A()^A()≤A(xy)；(3)对于任意的zEG，(z)≤A(x)，则称A是G的力一子群，偶序(G，A)称为群。定义1．5L3设(G，A)，(

11、H，B)是两个一群，若群同态厂：G—H满足A≤B。厂，则称厂是由(G，)到(日，B)的群同态，记作f：(G，)一(，B)。不难验证，以一群为对象，群同态作为态射，可以构成一个范畴，此范畴称为一群范畴，记作户(力)。2一群的等价定义群范畴户可以看作是集合范畴上的群对象所构成的范畴Grp(．~et)，由此可以得到力一群的等价定义：定义2．1设(x，，r／，)Eob(Grp())，其中xEJet，以及映射：x×x—