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1、第18卷第6期梧州学院学报No.6Vol.182008年12月JOURNALOFWUZHOUUNIVERSITYDec.2008等价连分式的若干性质谭伟明（梧州学院数理系，广西梧州543002）[摘要]该文研究了等价连分式的性质，得到若干新的结论。[关键词]连分式；等价；渐近分式[中图分类号]O173.2[文献标识码]A[文章编号]1673-8535(2008)06-0011-05TheAttributesofEquivalentContinuedFractionTanWeiming(Mathematics&PhysicsDepartment,WuzhouUniversity,Wu
2、zhou543002,China)Abstract:Thepresentpapermakesaprofoundstudyontheattributesofequivalentcontinuedfraction,andreachesaconclusion.Keywords:continuedfraction;equivalence;asymptoticfraction1一些相关的概念[1]定义1形如a1b+0a2b+1a3b+2b3+L（1）∞的分式，称为连分式，记为b+K(a/b)；而0nnn=1naA1nr=b+K(a/b)=b+=n0kk0k=1a2Bb+n1a3b+2b3+a
3、nO+b（2）n称为连分式（1）的n次渐近分式。其中A、B是将连分式化简后所得到分式的分子和分母，它们都是nn关于a、b的多项式。nn∞∞定义2如果两个连分式b+K(a/b)和d+K(c/d)有相同的渐近分式序列，则称这两个连0nn0nnn=1n=1收稿日期：2008-10-05基金项目：梧州学院科研项目（2007B007）·11·2008年第6期梧州学院学报第18卷∞∞分式等价。记为b+K(a/b)≈d+K(c/d)0nn0nnn=1n=12等价连分式的若干性质关于连分式的性质，参考文献[1]给出了如下定理：∞∞定理1b+K(a/b)≈d+K(c/d)当且仅当存在数列{}p，其中
4、p=1，而0nn0nnn0n=1n=1p≠0,∀n∈N，使得nd=b，c=ppa,d=pb,∀n∈N00nnn−1nnnn（3）由定理1，容易得到如下命题：∞∞定理2设bd≠0,∀n∈N，则b+K(a/b)≈d+K(c/d)，当且仅当nn0nn0nnn=1n=1abbnn−1nb=d，=,n∈N（4）00cddnn−1n∞∞证：必要性：若b+K(a/b)≈d+K(c/d)0nn0nnn=1n=1则∃{pn}，其中p0=1，pn≠0，使得dbcppadp00==，，nnn−1nnn=bn，∀nN∈dnabnn==1bn−1，nN∈即p=，从而ncppddbnnnnn−−11nabbn
5、n−1n充分性：若bd00==，，nN∈cddnn−1ndn取pn==，n0，1，2，，则有p0=1，而pnn≠∀0，∈N，使得bndbcppadp==，，=b，∀nN∈00nnn−1nnnn∞∞由定理1，知b+K(a/b)≈d+K(c/d)（证毕）0nn0nnn=1n=1∞由定理1，给定b+K(a/b)，对任意数列{}p，其中p=1，p≠0,∀n∈N，通过（3）式0nnn0nn=1∞求出{}c、{}d，即可构造出与之等价的连分式d+K(c/d)nn0nnn=1例如，对连分式−xy−xy−(x+y)+−xy−(x+y)+−(x+y)+L1这里，a=−xy，b=−(x+y)。取p=1
6、，p=−,∀n∈N，则得到nn0nx11yc1=p1p0a1=−(−xy)=y，cpnn==pan−1nx2()−xy=−=x，n2,3,L，xx+yyd=pb==1+,n∈N，于是nnnxx·12·2008年第6期谭伟明：等价连分式的若干性质−xyy≈−xy−y/x−(x+y)+(1+y/x)+−xy−y/x−(x+y)+(1+y/x)+−(x+y)+L(1+y/x)+L11取p=1，p==−,∀n∈N，则得到0nbx+ynxy−xyc=ppa=，c=ppa=,n=2,3,L，1101nnn−1n2x+y(x+y)d=pb=1,n∈N，于是nnnxy−xyx+y≈−xyxy−(x
7、+y)+−−xy2(x+y)−(x+y)+1+−(x+y)+Lxy−2(x+y)1+1+L∞∞容易看到：一般地，形如K(a/b)的连分式，若b≠0,n∈N，都等价于某个形如K(c/1)的nnnnn=1n=11连分式。其实，只要取p=1，p=,∀n∈N，则0nbnaa1nc=ppa=，c=ppa=,n=2,3,L，1101nnn−1nbbb1nn−1∞∞d=pb=1,n∈N，于是K(a/b)≈K(c/1)nnnnnnn=1n=1∞同样，由定理2，对给定的连分式b+K(a
