微积分ii全书整理

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1、第一部分多变量微分学一、多元函数极限论1.多元函数极限的定义：（1）邻域型定义：设函数的定义域为，是的聚点，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有，那么就称常数为函数当时的极限，记作（2）距离型定义：设函数的定义域为，是的聚点，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点，且时，都有，那么就称常数为函数当时的极限，记作注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了邻域内的无定义点；②极限存在的充要条件：点在定义域内以任何方式或途径趋近于时，都有极限；③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常

2、用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点以不同的方式或途径于时，区域不同的值，则可断定不存在.⑤二元函数的极限记为或.2.多元函数的连续性：设函数的定义域为，是的聚点，如果，且有，则称在处连续；如果在区域的每一点处都连续，则称在区域上连续.注：①如果，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等.3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二

3、重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分1.偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论）（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.；.（2）可微性：记，则仅当时，在处可微，否则不可微.其中，.注：等价于即又即记为全微分在处的全微分.中值定理推广为：（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求和，用公式求和，判断和是否都成立，如果都成立则偏导数连续.④逻辑关系：2.多元函数微分法：（1）链式求导法则：①从题目中的复

4、合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“”，不偏则写微分符号“d”）；③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）.（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立.（3）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设在点某邻域内偏导连续，且，，则方程在点内

5、某邻域内可唯一确定单值函数，这个函数在的某邻域内具有连续的偏导数，且，.结论不难推广到一般情形.②方程组的情形：一般地，设方程组可确定个元函数.当雅可比行列式时，可以确定，其中由将分母中的第个元素替换成得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）注：①求导前应事先判断，个变元，个方程可确定个元函数；②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性.③经验结论：由确定的隐函数，求时，有；求时，有；求时，有，其中.（的曲率：）三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）1.曲线的切线和法平面：设曲线在处都存在且不为0

6、，则曲线在处的：（1）切线方程为：（2）法平面方程为.注：若曲线以形式给出，切向量为.2.曲面的切平面与法线：设曲面由方程确定，在点处可微，且不为0，则曲面在处的：（1）切平面方程为（导数已经代入坐标）；（2）法线方程为.注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量.3.方向导数：（1）定义式：（2）若函数在点处可微，那么在点处沿所有方向的方向导数存在，且，其中为的方向余弦.注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在.4.梯度：（1）计算：gradu=i+j+k；（2）gradu是在点的变化量最大的方向，其模等于这个最大变

7、化率；（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；（4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数，在处有极值的必要条件是.（可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件：设为函数的驻点，且在处连续，记，则：①时，是极值点，当时，为极小值；当时，为极大值；②时，不是极值点；③时，此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题）2.条件极值与拉格朗日乘数