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1、练习5.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?(1)22222x+2y=4z(椭圆抛物面)(2)x+y=4z(圆锥面�222xyz22(3)++=1(椭球面�(4)x+z=1(圆柱面�41692.求下列函数的定义域:(1)z=−x−y�y≥0解���x−y≥0�y≥0�即�x≥0�2�x≥y2函数的定义域为{(x,y)
2、x≥0,y≥0,x≥y}(2)3x+yz=e+x−y解�∵x−y≥0�∴函数的定义域为{(x,y)
3、x−y≥0}x−y3.对于函数f(x,y)=,证明limf(x,
4、y)x+yx→0分析�由二元函数极限定义�我们只须找到沿不同路径p→p(0,0)0时�所得极限值不同即可。证明�①p(x,y)x(x≠0,y=0)p(0,0)0f(x,y)=f(x,0)=1,limf(x,y)=1x→0y→0②当p(x,y)沿直线y=kx(x≠0)趋于�0�0�时�x−kx1−kf(x,y)==≠1(k≠0)x+kx1+k综合①②可知函数极限不存在。练习5.21.求下列函数的偏导数33∂z∂z①z=xy−xy,求,∂x∂y∂z23∂z32解�=3xy−y,=x−3xy∂x∂y∂
5、z∂z②z=ln(xy),求,∂x∂y∂z1−111解�=[ln(xy)]2..y=∂x2xy2xln(xy)∂z1−111=[ln(xy)]2..x=∂y2xy2yln(xy)22z∂z∂③z=xln(x+y),求,2∂x∂x∂y∂z1解�=ln(x+y)+x.∂xx+y2∂z∂∂z∂x1x+y−xx+2y=()=(ln(x+y)+)=+=222∂x∂x∂x∂xx+yx+y(x+y)(x+y)2∂z∂∂z∂�x�10−xy=()=�ln(x+y)+�=+2=2∂x∂y∂y∂x∂y�x+y�x+
6、y(x+y)(x+y)3xyz∂u④u=e,求∂x∂y∂z2∂uxyz∂uxyzxyzzxyz解�=yze,=ze+yzxze=(z+xyz)e∂x∂x∂y32∂u∂∂u∂z2xyzxyz2xyz=()=(z+xyz)e=(z+2xyz)e+(z+xyz)xye∂x∂y∂z∂z∂x∂y∂zxyz222xyz222=e(1+2xyz+xyz+xyz)=e(1+3xyz+xyz)xy2f(2,1+∆y)−f(2,1)2�设f(x,y)=e,则lim∆y→0∆y22(1+∆y)f(2,1+∆y)−f(
7、2,1)e0解�lim=lim(未定式)∆y→0∆y∆y→0∆y022(1+∆y)e(2+∆y)⋅1−0=lim∆y→012=4e233�设u=ln(1+x+y+z),在点�1�1�1�处求u+u+uxyz1解�u=x231+x+y+z2yu=y231+x+y+z23zu=z231+x+y+z1233∴u+u+u
8、=++=xyz(1,1,1)4442xy2∂z∂z4�设z=e,求证2x+y=0∂x∂yxx∂zy21−2y2证明�∵=e⋅=ye2∂xyxx∂zy21−3y2∵=e⋅x⋅(−2)=−
9、2xye3∂yyxxxx∂z∂z−2y2y21−3y2−2y2∴2x+y=2xye+ye⋅x⋅(−2)=−2xye⋅y+2xye=03∂x∂yy练习5.31�求下列函数的全微分�1�求z=xy在点�2�3�处�当∆x=0.1与∆y=−0.2时的全增量与全微分解�全增量∆z=f(2+0.1,3−0.2)−f(2,3)=2.1×2.8−6=−0.12dz=z∆x+z∆y=y∆x+x∆y=3×0.1+2×(−0.2)=−0.1xy22�2�求z=ln(1+x+y),当x=1,y=2时的全微分∂z2y解
10、�dz=dx+dy22∂x1+x+y2412dz=dx+dy=dx+dy(1,2)1+1+41+1+433�3�u=xy+yz+zx,求du∂u解�du=dx+(x+z)dy+(x+y)dz∂x=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz2�计算下列各式的近似值�分析运用公式f(x+∆xy+∆y)≈f(x,y)+fx′∆x+f′y∆y�010002.03�1�(10.1)解�令yf(x,y)=x,x=10,∆x=0.1,y=2,∆y=0.03002.03(10.1)=f(x+∆xy+∆y)≈
11、f(x,y)+f′x∆x+f′y∆y010002y−1y=10+yx⋅0.1+xlnx⋅0.01(10,2)(10,2)=100+2+3ln10≈108.9(2)34ln(1.03+0.98−1)解:令f(x,y)=ln(3x+4y−1)取x=1,∆x=0.03,y=1,∆y=−0.0200原式=f(1+0.03,1−0.02)21−x3343≈ln(1+1−1)+
12、(−0.02)34(1,1)x+y−111=0+×0.03−×0.02=0.00534(3)00sin29tan46解�令f(x,
