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时间:2017-09-25
《《微积分》课后习题答案详解 八》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题八(A)1.用级数收敛的定义或级数的性质判断下列级数的敛散性:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1)因为所以发散.(2)所以收敛.(3)因为所以发散.(4)所以是等比数列,又因为所以收敛.(5)因为所以发散.(6)因为所以发散.2.证明:若正项级数收敛,则级数必收敛.并举例说明其逆命题不成立.解:因为=0所以存在当时所以存在当时,又因为收敛,所以收敛。例如:收敛,而发散所以其逆命题不成立。3.证明:若级数与都收敛,则正项级数,,也收敛.解:因为且所以收敛因为且所以收敛.因为且收敛.所以收敛.4.证明:若级数与都收敛,且存在整数使得当时不等式成立成立,则级数必收敛.若级数
2、与都发散,且存在正整数使得当时不等式成立成立,试问级数是否必发散?解:证明:因为收敛且收敛.所以收敛,所以收敛所以收敛.例如:=-1发散,=1发散,收敛.所以级数未必发散.ssss5.已知正项级数与都发散,试问正项级数,是否也发散?说明理由.解:由比较判别法知正项级数必发散,但未必发散,例如:令则.6.利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数的敛散性:(1);(2);(3);(4);(5)(6);(7);(8);(9);(10)(其中常数).解:(1)因为收敛,所以收敛.(2)=1因为所以收敛.所以收敛.(3)因为=且发散.所以发散.(4)因为所以收敛.所以收敛.(5)因为是发散的.所以是发
3、散的.(6),又因为收敛.所以原级数收敛.(7)=因为为常数)且收敛.所以原式也收敛.(8)因为收敛,所以原式收敛.(9)因为收敛所以收敛.(10)当时,发散.当时,因为收敛,所以当时,发散.所以当收敛,当时发散.7.利用比值判别法及根值判别法判别下列正项级数的敛散性:(1);(2);(3)(4);(5)(其中常数);(6)(7);(8);(9);(10);解:(1)所以收敛.(2)所以发散.(3)所以发散.(4)所以是收敛的.(5)所以收敛.(6)所以收敛.(7)所以收敛.(8)所以发散.(9)所以收敛.(10)所以收敛8.判别下列交错级数的敛散性,当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收
4、敛:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10).解:(1)且所以又因为也收敛.所以原级数是绝对收敛的.(2)且所以收敛,又因为发散所以条件收敛.(3)且所以,又因为发散,所以原级数条件收敛.(4)且所以收敛.又因为发散.所以原级数条件收敛.(5)且所以收敛.又因为发散所以原级数条件收敛.(6)因为所以因为所以又因为发散,所以原级数条件收敛.(7),因为所以所以收敛.又因为收敛,那么原级数绝对收敛.(8)因为所以所以又因为所以收敛.又因为所以原级数条件收敛.(9)=所以原级数发散.(10)=因为收敛,且收敛.所以且收敛.所以原级数收敛.9.设是一个常数,判别
5、级数的敛散性,当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛.解:当时时收敛.当,时收敛.所以时绝对收敛.当时为常数)所以当时发散10.设是一个常数,判别级数的剑散性,当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛,而且其敛散性是否与常数的取值有关.解:因为因为所以所以收敛.又因为收敛所以对任意常数级数绝对收敛.11.设是一个常数,判别级数是敛散性,当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛,而且其敛散性是否与常数的取值有关.解:因为所以又因为所以收敛.又因为发散.所以条件收敛.12.已经幂级数在点处收敛,在点处发散,求幂级数的收敛半径与敛域.解:因为在处收敛.在点处发散.所以收敛半径是所以的收
6、敛半径是的收敛半域是[0,4];13.求下列幂级数的收敛半径,收敛区间及收敛域:(1);(2);(3);(4)(其中是一个正整数);(5)(注意0!=1);(6);(7);(8)(其中常数);(9);(10).解:(1)所以,所以收敛区间为(-2,2)当时,收敛.当时,发散.所以收敛域是[-2,2(2)所以,收敛半径区间为,当时发散,当时发散.所以收敛域为.(3)所以收敛区间为当时,发散.当时,收敛,所以收敛域为(4),所以收敛区间和收敛域均是(-,+).(5)所以,所以收敛区间为(-4,4)当时发散.当时,发散.所以收敛域为(-4,4)(6)所以,收敛区间和收敛域为(-,+).(7)所以,所
7、以收敛半径为1.当时发散.所以收敛域为(-1,1).(8)所以收敛区间为(-,).当时,收敛.当时,收敛.所以收敛域为[].(9)所以,收敛区间为(-3,3)当时发散,当时发散.所以收敛域为(-3,3)(10)所以,收敛区间为(-4,4).当时发散.当发散.14.求下列幂级数的和函数:(1);(2);(3);(4);(5).解:(1)=(2)=(3)=(4)=(5)15.利用幂级数的和函数求下列级
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