《微积分》课后习题答案详解 八

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1、习题八（A）1．用级数收敛的定义或级数的性质判断下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：(1)因为所以发散．(2)所以收敛．(3)因为所以发散．（4）所以是等比数列，又因为所以收敛．(5)因为所以发散．(6)因为所以发散．2．证明：若正项级数收敛，则级数必收敛．并举例说明其逆命题不成立．解：因为=0所以存在当时所以存在当时，又因为收敛，所以收敛。例如：收敛，而发散所以其逆命题不成立。3．证明：若级数与都收敛，则正项级数，，也收敛．解：因为且所以收敛因为且所以收敛．因为且收敛．所以收敛．4．证明：若级数与都收敛，且存在整数使得当时不等式成立成立，则级数必收敛．若级数

2、与都发散，且存在正整数使得当时不等式成立成立，试问级数是否必发散？解：证明：因为收敛且收敛．所以收敛，所以收敛所以收敛．例如：=-1发散，=1发散，收敛．所以级数未必发散．ssss5．已知正项级数与都发散，试问正项级数，是否也发散？说明理由．解：由比较判别法知正项级数必发散，但未必发散，例如：令则．6．利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；（7）；（8）；（9）；（10）（其中常数）．解：（1）因为收敛，所以收敛．（2）=1因为所以收敛．所以收敛．(3)因为=且发散．所以发散．（4）因为所以收敛．所以收敛．（5）因为是发散的．所以是发

3、散的．（6），又因为收敛．所以原级数收敛．（7）=因为为常数）且收敛．所以原式也收敛．（8）因为收敛，所以原式收敛．（9）因为收敛所以收敛．（10）当时，发散．当时，因为收敛，所以当时，发散．所以当收敛，当时发散．7．利用比值判别法及根值判别法判别下列正项级数的敛散性：(1)；(2)；(3)(4)；（5）（其中常数）；（6）（7）；（8）；（9）；（10）；解：(1)所以收敛．(2)所以发散．(3)所以发散．(4)所以是收敛的．(5)所以收敛．(6)所以收敛．(7)所以收敛．(8)所以发散．(9)所以收敛．(10)所以收敛8．判别下列交错级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收

4、敛：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1）且所以又因为也收敛．所以原级数是绝对收敛的．（2）且所以收敛，又因为发散所以条件收敛．（3）且所以，又因为发散，所以原级数条件收敛．（4）且所以收敛．又因为发散．所以原级数条件收敛．（5）且所以收敛．又因为发散所以原级数条件收敛．（6）因为所以因为所以又因为发散，所以原级数条件收敛．（7），因为所以所以收敛．又因为收敛，那么原级数绝对收敛．（8）因为所以所以又因为所以收敛．又因为所以原级数条件收敛．（9）=所以原级数发散．（10）=因为收敛，且收敛．所以且收敛．所以原级数收敛．9．设是一个常数，判别

5、级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛．解：当时时收敛．当，时收敛．所以时绝对收敛．当时为常数）所以当时发散10．设是一个常数，判别级数的剑散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数的取值有关．解：因为因为所以所以收敛．又因为收敛所以对任意常数级数绝对收敛．11．设是一个常数，判别级数是敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数的取值有关．解：因为所以又因为所以收敛．又因为发散．所以条件收敛．12．已经幂级数在点处收敛，在点处发散，求幂级数的收敛半径与敛域．解：因为在处收敛．在点处发散．所以收敛半径是所以的收

6、敛半径是的收敛半域是[0，4]；13．求下列幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）（其中是一个正整数）；（5）（注意0！=1）；（6）；（7）；（8）（其中常数）；（9）；（10）．解：(1)所以,所以收敛区间为（-2，2）当时，收敛．当时，发散．所以收敛域是[-2，2（2）所以，收敛半径区间为，当时发散，当时发散．所以收敛域为．（3）所以收敛区间为当时，发散．当时，收敛，所以收敛域为（4），所以收敛区间和收敛域均是（-，+）．（5）所以，所以收敛区间为（-4，4）当时发散．当时，发散．所以收敛域为（-4，4）（6）所以，收敛区间和收敛域为（-，+）．（7）所以，所

7、以收敛半径为1．当时发散．所以收敛域为（-1，1）．（8）所以收敛区间为（-，）．当时，收敛．当时，收敛．所以收敛域为[]．（9）所以，收敛区间为（-3，3）当时发散，当时发散．所以收敛域为（-3，3）（10）所以，收敛区间为（-4，4）．当时发散．当发散．14．求下列幂级数的和函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）=（2）=（3）=（4）=（5）15．利用幂级数的和函数求下列级