15概率论与数理统计

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1、1概率论与数理统计(十五)开始王柱2013.04.292定义:设X是具有分布函数F的随机变量。若X1,X2,…,Xn是相互独立且具有同一分布的n个随机变量,则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F(或总体F、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值,又称为X的n个独立观察值.第六章样本及抽样分布§随机样本总体均可视为无限总体;抽出的部分(n个)个体为一个样本,亦视为有放回抽取;保证抽样为独立、同分布的随机样本其个数为样本容量。3定义设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,若g是连续函数且g中不含任何未知

2、参数,则称X1,X2,…,Xn的函数g(X1,X2,…,Xn)是一个统计量.又设x1,x2,…,xn是相应于X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)为g(X1,X2,…,Xn)的观察值.§抽样分布统计量是样本的函数,它是一个随机变量.统计量的分布称为抽样分布.4定义设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,…,xn是相应于X1,X2,…,Xn的样本观察值.§6.1几个常用的统计量样本平均值:样本方差:样本标准差:5样本k阶(原点)矩:样本k阶(中心)矩:6这几个常用统计量的观察值为样本平均值的:样本方差的:样本标准差的:样

3、本k阶(原点)矩的:样本k阶(中心)矩的:7我们指出:若总体X的k阶矩存在,记为E(Xk)=k,则当n时（辛钦定理）进而，对于连续函数g(x1,…,xk)，由依概率收敛序列的性质知,8记是上述样本的一组观察值，将其各个分量按照大小递增的次序排列，得到：。当取值时，定义取值，由此得到的或它们的函数都称为顺序统计量。顺序统计量（与样本分布函数）9（1）样本中位数（SampleMedian）：（2）样本极差（SampleRange）：较常用的顺序统计量有：10（3）记显然，，它作为的函数具有一个分布函数所要求的性质，故称为总体的样本分布函数或经验分布函数。1

4、1是样本的函数，它是一个随机变量。即，几乎处处一致收敛到。的值表示在次重复独立试验（次抽样）中，事件发生的频率。因此，。其中。126.3.32分布为服从自由度为n的2分布,记为2~2(n)设X1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量演示16！**6.2几个常用的分布13(一)2(n)分布的概率密度为(1)(5)(15)14由于由独立性有X~N(0,1),因此2(1)=X2的期望、方差为156.3.4t分布为服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)设X~N(0,1),Y~2(n),X与Y相互独立.则称统计量t分布,又称为学生氏(

5、Student)分布.演示27！16服从自由度为n的t(n)分布的概率密度为(1)(200)(4)17若，则的图形关于纵轴对称。186.3.5F分布为服从自由度为(n1,n2)的F分布,记为F~F(n1,n2).显然设U~2(n1),V~2(n2),U与V相互独立.则称统计量演示25！19F(n1,n2)分布的概率密度为(5,10)(10,5)(10,25)可以得出:216.3.6正态总体的样本均值与样本方差的分布设X1,X2,…,Xn是来自正态总体X的样本,由独立性,则总有进而X~N(,2)§6.3几个常用的有关抽样分布的定理22定理6.3.1设是

6、来自总体的样本，是样本均值，则有：在大样本场合下，无论总体服从何种分布，只要均值和方差存在，也有236.3.2顺序统计量的分布证明略。定理6.3.2设是总体的概率密度函数，是来自总体的简单随机样本，是它的一个顺序统计量，则其联合概率密度函数为24其中，。对于样本中位数和样本极差，我们也可以给出它们的概率密度函数，分别为25定理6.3.3：设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,为样本均值和方差,则有1.2.(证明略)26定理6.3.4：设X1,X2,…,Xn是来自总体N(,2)的样本,为样本均值和方差,则有由t分布的定义得:证明：已有27定理6.3.5

7、(1)：设X1,X2,…,Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自具有相同方差的两正态总体N(1,2),N(2,2)的样本,且这两个样本相互独立.这两个样本的均值为这两个样本的方差为,则有28证明：易知由给定条件知,且相互独立,则有和由附录及t分布的定义得:顺便得:29定理6.3.5(2)：设X1,X2,…,Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自具有相同方差的两正态总体N(1,2),N(2,2)的样本,且这两个样本相互独立.这两个样本的均值为这两个样本的方差为,则有30(1)分布的上分位点则称为该分布的上分位点.如:正态分布、t分布、

8、2分布、F分布、...等的上分位点.请注意：设X为