二次函数的图象和性质

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1、二次函数的图象和性质二次函数的图象位置是由系数a、b、c决定的。  对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目,解决此类问题的方法是数形结合,这也是解决函数问题极为重要的方法。  1.图象的识别  【例1】(2006福州)已知实数s、t满足s2+s-2006=0,t2+t-2006=0,那么,二次函数y=x2+x-2006的图象大致是()。    【分析】依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根,由求根公式可得两根一正一负,故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]20;④a-b+

2、c>0.  正确的序号是.    【分析】从图象中易知a>0,b0,④正确;设C(0,c),则OC=

3、c

4、,∵OA=OC=

5、c

6、,∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0,又c≠0,∴ac+b+1=0,故②正确。  解:正确的序号为①②③④.  【小结】我们研究二次函数y=ax2+bx+c图象的时候,首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。  【例3】(2006武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(x1,0),且0

7、0;②b<c;③3a+c>0,其中正确结论两个数是().  【分析】这是一道没给图象的题,由已知条件可以大致画出如下图所示的图象,∵00正确;∵-b[]2a=-1,∴b=2a,∴b-a=2a-a=a>0.∴b>a>c,故②不正确;把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0,∴③正确;故答案为2个.    【小结】将“数”转达化为“形”是本题的难点,将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。  2.性质的应用  【例4】(2006山东枣庄)已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]

8、2,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。  (1)试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点;  (2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;  (3)在(2)的条件下,对于经过A、B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?  【分析】解第(1)问时用b2-4ac是否大于0即可判断;解(2)时把A点坐标代入第(1)问求出的结果即可;解(3)时根据对称轴和开口方向可以判断。  解:(1)对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2,b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1

9、[]2=-m2-20,  ∴此函数的图象与x轴有两个不同的交点,故图象经过A、B两点的二次函数为:y=x2-mx-m2+2[]2  (2)将A(-1,0)代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0,整理得m2-2m=0,∴m=0或m=2.  当m=0,y=x2-1,令y=0,x2-1=0,解得x1=-1,x2=1,  此时B点的坐标是(1,0).  当m=2,y=x2-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,  此时B点的坐标是(3,0).  (3)

10、当m=0,y=x2-1,抛物线开口向上,对称轴为x=0,  ∴当x<0时,y随x的增大而减小.  当m=2,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的开口向上,对称轴为x=1,  ∴当x<1时,y随x的增大而减小。  【小结】二次函数y=ax2+bx+c中,当b2-4ac>0时,函数图象与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,函数图象与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,函数图象与x轴没有交点。

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