二次函数的图象和性质

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1、二次函数的图象和性质二次函数的图象位置是由系数a、b、c决定的。　　对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。　　1.图象的识别　　【例1】（2006福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（）。　　　　【分析】依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]20；④a-b+

2、c>0.　　正确的序号是.　　　　【分析】从图象中易知a>0，b0，④正确；设C（0，c），则OC=

3、c

4、，∵OA=OC=

5、c

6、，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确。　　解：正确的序号为①②③④.　　【小结】我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。　　【例3】（2006武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0

7、0；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数是（）.　　【分析】这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵00正确；∵-b[]2a=-1，∴b=2a，∴b-a=2a-a=a>0.∴b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0，∴③正确；故答案为2个.　　　　【小结】将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。　　2.性质的应用　　【例4】（2006山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]

8、2，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。　　（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；　　（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；　　（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？　　【分析】解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断。　　解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2，b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1

9、[]2=-m2-20，　　∴此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-m2+2[]2　　（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0，整理得m2-2m=0，∴m=0或m=2.　　当m=0，y=x2-1，令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，　　此时B点的坐标是（1，0）.　　当m=2，y=x2-2x-3，令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，　　此时B点的坐标是（3，0）.　　（3）

10、当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，　　∴当x<0时，y随x的增大而减小.　　当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，　　∴当x<1时，y随x的增大而减小。　　【小结】二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当b2-4ac＞0时，函数图象与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，函数图象与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，函数图象与x轴没有交点。