二次函数的图象和性质

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时间:2018-07-22

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1、二次函数的图象和性质教学目标  1、知道二次函数的意义;  2、会用描点法画出二次函数的图象;  3、掌握二次函数的两种表达形式:一般式和顶点式.会用配方法将一般式转化为顶点式;  4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值;  5、会根据已知条件求出二次函数的解析式.知识讲解  1、二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)其特点是:解析式是自变量的整式表达式,自变量最高次数是二次,二次项系数必须不为零。当b=c=0时,就是一个特殊的二次函

2、数y=ax2(a≠0),我们首先学习的就是这类最简单的二次函数,y=ax2的图象是一条顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上,函数有最小值当x=0时,最小值是0;当a<0时,抛物线的开口向下,函数有最大值当x=0时,最大值是0。  2、二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a≠0),顶点的坐标为(h,k),对称轴为x=h,当a>0时,抛物线开口向上,此时,当x=h时y有最小值为k;当a<0时,抛物线开口向下,此时当x=h时y有最大值k.。例题讲解例3、根据下列条件,分别求

3、二次函数的解析式:⑴顶点为(2,3),图象经过点(0,1)⑵当x=4时,函数有最小值-3,且图象经过点(1,0)⑶对称轴为x=2,图象经过(1,4),(5,0)⑷形状与y=3x2相同,当x=-1时,y有最大值2巩固练习:1.二次函数y=2x2-4x+3通过配方化为顶点式为y=______.2.将函数y=-2x2+8x-7,写成y=a(x-h)2+k的形式为_______,其顶点坐标是______,对称轴是_______.3.已知抛物线y=x2-6x+5的部分图象如图1,则抛物线的对称轴为直线x=

4、_______.满足y<0的x的取值范围是________,将抛物线y=x2-6x+5向________平移______个单位,可得到抛物线y=x2-6x+9.4.老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像经过第一、二、四象限;乙:当x<2时,y随x的增大而减小.丙:函数的图像与坐标轴只有两个交点.已知这三位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________.5.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于

5、0的条件是.6.如图,如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且OB=OC=OA,那么b=_______________.7.以下画抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的步骤,顺序正确的是()①利用函数的对称性列表;②确定抛物线的开口方向;③描点画图;④将y=ax2+bx+c配方成y=a(x-h)2+k的形式A.③②①④B.④②①③C.②④①③D.③②④①8.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则

6、有()A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=219.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图2,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a>;④b<1.其中正确的结论是()A.①②B.②③C.②④D.③④10.满足a<0,b>0,c=0的函数y=ax2+bx+c的图象是图中的()11.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题:①当c=0时,函数的图象经过原点;②当b=0时,函数的图象关于y轴对称;③函数图象最高点的纵坐标为;④当a>0时,y随x的

7、增大而增大,其中正确命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个1-1-33xyOABC12.如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(-1,0)、点B(3,0)和点C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。⑴二次函数的解析式为.⑵当自变量时,两函数的函数值都随增大而增大.⑶当自变量时,一次函数值大于二次函数值.⑷当自变量时,两函数的函数值的积小于0.13.已知二次函数y=2x2-4x-6,求:(1)此函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标、最小值,并画出图象;

8、(2)观察图象,回答:何时y随x的增大而增大;何时y随x的增大而减小;(3)观察图象,x为何值时,y>0.14.已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示:(1)求此抛物线的解析式;(2)当x取何值时,y>0?(3)将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。15.如图,在一块三角形区域ABC中,∠C=90°,边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG,如图的设计方案是使DE在AB上。⑴求△ABC中AB边上的高h;⑵设DG=x,当x取

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