绝对值三角不等式

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1、书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！8/15/2021绝对值三角不等式（一）绝对值的定义：对任意实数a，复习问题我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学能回答？或.当　　　时，有：（二）绝对值的几何意义：实数a的绝对值

2、a

3、，表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离（图1）。如：

4、-3

5、或

6、3

7、在数轴上分别等于点A或点B到坐标原点的距离。

8、a

9、OAx由绝对值的几何意义可知，A、B之间

10、的点与坐标原点的距离小于3，可表示为：即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：如图设a,b是任意两个实数，那么

11、a-b

12、的几何意义是什么？x

13、a-b

14、abAB探究用恰当的方法在数轴上把

15、a

16、，

17、b

18、，

19、a+b

20、表示出来，你能发现它们之间有何关系？定理1如果a,b是实数，则

21、a+b

22、≤

23、a

24、+

25、b

26、，当且仅当ab≥0时，等号成立。绝对值三角不等式如果把定理1中的实数a,b分别换为向量，能得出什么结论？你能解释其几何意义吗？探究？(1)当不共线时有(2)当共线

27、且同向时有绝对值三角不等式如何证明定理1?探究你能根据定理1的研究思路,探究一下

28、a

29、，

30、b

31、，

32、a+b

33、,

34、a-b

35、之间的其它关系吗?

36、a

37、-

38、b

39、≤

40、a±b

41、≤

42、a

43、+

44、b

45、结论:注意：1左边可以“加强”同样成立，即2这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3同号时右边取“=”，异号时左边取“=”推论1：推论2：证明：在定理中以即：定理探索当　　　　　时，显然成立，当　　　　时，要证只要证　　　　　　　　　　　　　，即证而　　　　显然成立．从而证得.定

46、理探索还有别的证法吗？由　　　　　与　　　　　　，得.用　　　　　　　　　　可得什么结论？当我们把　　　看作一个整体时，上式逆定理探索证明　　　　　　吗？能用已学过得的可以　表示为即即.就是含有绝对值不等式的重要定理，例题求证.例2已知　　　　　　　　　　　　　　　　，证明：例题例3求证.证明：在　　　　时，显然成立.当　　　　时，左边练习②已知　　　　求证.1．①已知　　　　　　　，求证.②.①　　　　　　　　　；2．已知，求证：①②由①，②，③得，③课堂练习：定理2如果a,b,c是实数,那么当且

47、仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立你能给出定理2的几何解释吗?如何证明定理2?推论: