绝对值三角不等式.docx

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1、绝对值三角不等式例1．已知向量满足，，则的范围是A．B．C．D．解法一：，，所以.（算数平均数不大于平方和平均数）解法二：则由条件知，A在以D为圆心AD为半径的圆上移动，则当AB=AC时当A与BC共线时，知识点：绝对值三角不等式（1）.向量版：几何意义：:()两边之差小于第三边小于第三边，当且仅当.（）两边之和大于第三边，当且仅当.所以：；（2）.数量版：几何意义：分两种情况，。所=故（浙江卷第三道大题）练：已知向量满足，，且，则与夹角的余弦值的取值范围是．解：答案：分析：法一：设的夹角为，由题，即法二：设点的轨迹为以为焦点的椭圆.根据椭圆的对称性，当点在椭圆的顶点处取得最值.（注意向

2、量夹角的定义）解：且推广：解：由题可得：（分析：由于最大值与无关，所以消去）故即：即得证.等号当且仅当时取到(2017年全国高中数学联合竞赛一试）解：令设则，，则故，又即。例2[2015·浙江卷]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是

3、f(x)

4、在区间[－1，1]上的最大值．(1)证明：当

5、a

6、≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求

7、a

8、＋

9、b

10、的最大值．解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，得f(x)的图像的对称轴为直线x＝－.由

11、a

12、≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，所以M(a，b)＝max{

13、f(1)

14、，

15、f(－1)

16、

17、}．当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当

18、a

19、≥2时，M(a，b)≥2.法二：M(a，b)＝max{

20、f(1)

21、，

22、f(1)

23、}(2)由M(a，b)≤2得，

24、1＋a＋b

25、＝

26、f(1)

27、≤2，

28、1－a＋b

29、＝

30、f(－1)

31、≤2，故

32、a＋b

33、≤3，

34、a－b

35、≤3，由

36、a

37、＋

38、b

39、＝max{

40、a＋b

41、,

42、a－b}得

43、a

44、＋

45、b

46、≤3.当a＝-2，b＝－1时，

47、a

48、＋

49、b

50、＝3，且

51、x2-2x－1

52、在[－1

53、，1]上的最大值为2，即M(-2，－1)＝2.所以

54、a

55、＋

56、b

57、的最大值为3.