绝对值三角不等式2

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1、绝对值三角不等式绝对值的几何意义

2、a

3、=

4、a

5、AaOx

6、a-b

7、AaBxb几何意义:表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.

8、a-b

9、=几何意义：表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度思考类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从“运算”的角度考察绝对值不等式。如：对于实数a,b，可以考察

10、a

11、,

12、b

13、,

14、a+b

15、,

16、a-b

17、,

18、a

19、+

20、b

21、,

22、a

23、-

24、b

25、等之间的关系。探究用恰当的方法在数轴上把

26、a

27、,

28、b

29、,

30、a+b

31、表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？x

32、Oaba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab>0ab<0(1)当ab>0时,xOaba+bxOaba+ba>0,b>0a<0,b<0由图可得:

33、a+b

34、=

35、a

36、+

37、b

38、(2)当ab<0时xOaba+bxOaba+ba>0,b<0a<0,b>0

39、a+b

40、<

41、a

42、+

43、b

44、

45、a+b

46、<

47、a

48、+

49、b

50、(3)如果ab=0,则a=0或b=0易得:

51、a+b

52、=

53、a

54、+

55、b

56、综上所述,可得:建立模型定理1:如果a,b是实数,则

57、a+b

58、

59、a

60、+

61、b

62、当且仅当ab0时,等号成立.引申

63、与思考如果把定理1中的实数a,b分别换为向量,能得出什么结果?当向量共线呢?定理1的几何意义xyO在不等式

64、a+b

65、

66、a

67、+

68、b

69、中,当向量不共线时,则由向量加法的三角形法则,用向量分别替换实数a,b,向量构成三角形,故可得向量形式的不等式:

70、a+b

71、<

72、a

73、+

74、b

75、故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.绝对值三角不等式证明绝对值三角不等式:

76、a+b

77、

78、a

79、+

80、b

81、证明:当ab0时,ab=

82、ab

83、

84、a+b

85、证明当ab<0时,ab=-

86、ab

87、

88、a+b

89、故

90、a+b

91、

92、a

93、+

94、b

95、当且仅当ab0时,等号成立.应用与拓展同学

96、们能再探究一下

97、a

98、-

99、b

100、与

101、a+b

102、,

103、a

104、+

105、b

106、与

107、a-b

108、,

109、a

110、-

111、b

112、与

113、a-b

114、等之间的关系?如:如果a,b是实数,则

115、a

116、-

117、b

118、

119、a-b

120、

121、a

122、+

123、b

124、再如:如果a,b,c是实数,则

125、a-c

126、

127、a-b

128、+

129、b-c

130、当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.建立模型定理2:如果a,b,c是实数,则

131、a-c

132、

133、a-b

134、+

135、b-c

136、当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.分析:由于a-c,a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c)证明:根据定理1,有:

137、a-c

138、=

139、(a-b)+(b-c)

140、

141、

142、a-b

143、+

144、b-c

145、当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.则可使用定理1的结论进行证明.定理2的几何意义xabcABCxbcaABCxacbABC在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之间时,

146、a-c

147、=

148、a-b

149、+

150、b-c

151、(2)当点B在点A,C之外时,

152、a-c

153、<

154、a-b

155、+

156、b-c

157、典例分析例:已知>0

158、x-a

159、<

160、y-b

161、<,求证:

162、2x+3y-2a-3b

163、<5证明:

164、2x+3y-2a-3b

165、=

166、(2x-2a)+(3y-3b)

167、

168、2(x-a)

169、+

170、3(y-b)

171、

172、=2

173、x-a

174、+3

175、y-b

176、<2+3=5故

177、2x+3y-2a-3b

178、<5典例分析例:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?典例分析分析:如果生活区建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km.那么S(x)=2(

179、x-10

180、+

181、x-20

182、)故实际问题转化为数学问题:当x取何值时,函数S(x)=2(

183、x

184、-10

185、+

186、x-20

187、)取得最小值.解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则:S(x)=2(

188、x-10

189、+

190、x-20

191、)S(x)=2(

192、x-10

193、+

194、x-20

195、)我们先来考察它的图像:S(x)=2(

196、x-10

197、+

198、x-20

199、)=OxS102030204060S(x)=2(

200、x-10

201、+

202、x-20

203、)60-4x020S(x)=2(

204、x-10

205、+

206、x-20

207、)

208、x-10

209、+

210、x-20

211、=

212、x-10

213、+

214、20-x

215、

216、(x-10)+(20-x)

217、=10当且

218、仅当(x-10)(20-x)0时取等号.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故当10x20时,函数S(x)=2(

219、x-10

220、+

221、x-20

222、)取最小值20.OxS10