第四讲极限环

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1、第四讲极限环3.1什么是极限环轨迹很多情况下趋向一个不动点，但是有些系统趋向一个闭合周期轨道，是系统的一个解，但是不是定常解，它附近的轨道趋向它，则是稳定的极限环，否则是不稳定的，还有一种从一边趋向它，而从另一边远离它，则是半稳定的极限环。例子：系统这个系统求解平衡点只有一个（0,0），由特征值可以知道为不稳定的焦点。但是从整体上分析系统的运动，我们会发现有个稳定的周期轨迹围绕着（0,0），这个可以从极坐标很容易发现。取，，那么系统化为因此系统就是以恒定的角速度逆时针绕原点（0,0）的的周期轨道，当然还有的原点。稳定性可以看的增长速度，当，，是增长的，而时，，是减小的衰

2、减的。functionout1=lcycle(t,y)out1=[y(2)+y(1).*(1-y(1).^2-y(2).^2);-y(1)+y(2).*(1-y(1).^2-y(2).^2)];例子：半稳定极限环这个系统求解平衡点只有一个（0,0），不稳定的焦点。但是从整体上分析系统的运动，取，，那么系统化为因此系统就是以恒定的角速度逆时针绕原点（0,0）的的周期轨道，当然还有的原点。稳定性可以看的增长速度，当，，是增长的，而时，，还是增长的，因此是半稳定。定义：对于单位圆上任一点，经过2pi个单位重新回到此点，园外和园内不同点也经过不同时间到达单位圆，考虑时间趋向正无

3、穷，那么这些点所成的集合称为极限集（希腊字母最后一个字母），如果时间趋向负无穷，其集合称为极限集。3.2庞加莱（Poincare）映射定义：庞加莱（Poincare）映射，相平面上选取一点，从该点出发的轨迹再次回到该点称为首次返回映射或者庞加莱映射。例子：例子：系统我们讨论从x正半轴出发的轨迹返回映射，极坐标下等同于从到的解。对于积分我们得到那么当从到，从出发的轨迹再次回到点处，这就是庞加莱映射，构造映射的截线可以看出，当=0和1时，映射返回自己，即，而对于其他的初始点，。定义：庞加莱（Poincare）截面，我们不连续地画出系统的轨道，而是每隔一个周期取一个截面（），

4、就是庞加莱截面，截面是一系列的离散点，形成了二维映射对于单周期运动，庞加莱截面是一个点，因为一个周期轨迹重新回到此点，而对于m倍周期，庞加莱截面有m个点，而对于拟周期，那么截面上是无限多个点，形成了连续的。3.3判断极限环庞加莱-本迪克森定理是判断极限环存在与否的基本定理，因为并非所有的极限环都是圆，依据极坐标能够确定出来。举例说明，考虑系统引入函数，发现，那么区域是正不变的，在边界处是反阻尼，而在边界处是正阻尼，向量指向环域内部，因此域内必然有封闭曲线轨迹。庞加莱-本迪克森定理：假设是有界闭子集，而且是微分方程的正不变集，并且A内部没有不动点，那么存在轨迹，，是一个周

5、期轨或者趋向周期轨迹，。A必然是一个洞的环域，而且有两个边界，边界是闭曲线。李纳（Lienard）方程：这类方程对于小振荡有递增的“振幅”，对于大振荡有递减的振幅，存在唯一的周期轨或极限环，由于小振荡的振幅增加不是由外力引起的，因此这类现象又称为“自激振荡”。定理：当函数连续可微，都是奇函数，满足，存在a，使得，且非减函数。那么此类方程必然存在唯一的极限环。证明略。比如RLC的非线性电路的范德波尔方程这个方程就是我们第一讲VanderPol（范德波尔）方程，利用，这里变换即可等价。3.4什么是“流”？各种数学体系中，对于运动和变化的描述，我感觉最为适合的有两种不同的观点

6、perspective：流和变换群。前者以被作用的对象为中心，运动就是这个东西随时间变化的函数；后者以变换本身为中心，研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构。相对来说，前者对于多数人而言似乎更为直观。其实，这两种思路有着根本的联系——这种联系体现在李群论的一个基础概念——李群作用。流(Flow)是什么呢？很通俗的说，表示了一种运动规则。给定一个点的初始位置x，让它运动一段时间t，那么之后到达另一个位置y，那么y就是初始位置x和运动时间t的函数：y=Φ(t,x)这个函数Φ，如果符合一些合理的性质，就叫做一个流(Flow)。一个合理的运动函数应该具有什么性质呢？我想，

7、最起码应该有三点：1.运动是连续的。物理学告诉我们，现实中没有所谓的“瞬间转移”。在上面的式子中，如果固定x，那么y(t)=Φ(t,x)就是这个初始位置在x的点的运动过程。在数学上，没有“瞬间转移”就是说对于任何x，它的运动过程y(t)都是连续的。1.变形是连续的。现在假设我们不考虑一个点，而是考虑一个物体。那么，本来是邻居的点，后来还是邻居——严格一点，在拓扑学上就是说，x和它的一个邻域各自都运动了时间t，那么运动后，这个邻域关系还是保持的——这等价于不改变这个物体的拓扑结构（比如，不把它撕开，但是连续变形是肯定允许的）。当然，在现实中