微分方程第5章.4极限环.ppt

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1、§5.4极限环和平面图貌5.4.1极限环例一阶非线性驻定方程组取极坐标方程组有两个特解（1）为奇点；（2）以单位圆为轨线的周期解，周期为且沿顺时针方向旋转沿圆沿圆轨线按顺时针方向从圆上走出圆外轨线按顺时针方向从圆上走到圆内注：孤立的周期闭轨称为极限环设是系统的一个极限环,如果存在着的一个邻域，使从此邻域内出发的其它解均正向趋近于，则称为稳定的极限环。如果其它解均负向趋近于，则称为不稳定的极限环。如果从的邻域出发的其它轨线在的一侧正向趋近于，另一侧负向趋近于，则称此为半稳定的极限环。定理5.4.1Po

2、incare-Bendixson环域定理设区域是由两条简单闭曲线围成的环形域并且满足下面条件:(1)及其边界上不含奇点;(2)从G的边界上各点出发的轨线都不能离开(或进入);(3)均不是闭曲线.则在内至少存在一个外稳定闭轨和一个内稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨)，如果闭轨是惟一的,则它一定是一条稳定的(不稳定的)极限环。定理5.4.2设系统的右端函数，在某个单连域内连续可微,并且在内不变号,且在的任何子域内不恒为零，则方程组在内不存在任何闭轨线。定理5.4.3对于方程组若在某个单连域

3、内存在一个连续可微函数使得不变号。且在的任何子域中不恒为零，则方程组不存在全部位于内的闭轨线。Dulac函数定理5.4.4如果沿着系统的极限环有则是稳定(不稳定)的.其中是的周期。定理5.4.5给定微分方程其等价方程组为：其中如果(1)在连续;(2);(3)在内分别单调不减，则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它必定为稳定的。例1证明平面二次系统(1)当时无闭轨线。证明由系统的第一个方程得到故轨线与直线相交时只能从它的一侧向另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线的一侧,在这一侧取Dulac函数

4、容易算出当时它是常号且当仅且当时为零，当不是系统的轨线。所以由定理5.4.3知:系统(1)当时不存在闭轨。例2用定理5.4.4的结论判定非线性方程组引入极坐标后产生的极限环及的稳定性。解由可以算出对有故由定理5.4.4知是不稳定的。对有故由定理5.4.4知是稳定的。5.4.2平面图貌垂直等倾线水平等倾线交点为奇点两曲线划分区域内的为例考虑两种群的Volterra模型：（1）竞争模型（2）捕食者-食饵模型（3）共存模型垂直等倾线水平等倾线X种群趋于定量，y种群趋于灭绝y种群趋于定量，x种群趋于灭绝X，

5、y种群或以一定量共存，或有一灭绝X种群和y种群以一定量共存E