第4讲 无穷小量与极限求法.ppt

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1、第4讲无穷小量与极限求法无穷小量与无穷大量求极限的常用方法闭区间上连续函数的零点定理─古代庄子《天下篇》公元前四世纪“一尺之椎，日截其半，万世不竭”─古代庄子《天下篇》公元前四世纪“一尺之椎，日截其半，万世不竭”一、无穷小量与无穷大量极限为零的量叫做无穷小量例如故当n→∞时，是无穷小量；例如故当x→0时，sinx是无穷小量；极限为零的量叫做无穷小量若则故α=f(x)-A是无穷小量,或f(x)=A+无穷小量α.极限为零的量称为无穷小量若α、β是无穷小量，则α＋β，α－β，αβ也都是是无穷小量。但是不一定极限为零的量称为无穷小量若α、β是无穷小量，则如果则称α是

2、关于β的高阶无穷小，记为：α=o(β)例1α=x3，β=x2。则当x→0时，x3=o(x2)例2α=sin3x，β=x2。则当x→0时，sin3x=o(x2)例3当x→∞时,故β(x)是α(x)的高阶无穷小，β(x)=o(α(x))如果(非零常数)则称α与β是同阶无穷小.例4故当x→0时，1-cosx与x2是同阶无穷小，特别地时则称α与β是等价无穷小.记为α～β。例如sinx～x（当x→0时）因为若当x→a或∞时，

3、f(x)

4、无限增大，则称f(x)为无穷大量，记为无穷大量是没有极限的量，这里只是借用极限的符号。例如设α(x)是无穷小量，它的取值不为0，则“连

5、续”的等价形式令x=x0+△x，则x→x0，△x→0再记△y=f(x0+△x)-f(x0）则即一、无穷小量与无穷大量二、求极限的一些方法1、利用连续性例5（注：）2、恒等变形例6=3例7=2例8(分子分母同除以x3)例9=13、利用已知极限等例10令arcsinx=u,则sinu=x,原式例11=1×2×4=8例12令则t→－∞原式(因)例131∞故利用令得原式=e2例14求注1：若f(x)在点x0处连续，则若连续则lim与f可以交换(由于对数函数连续,故)特别二、求极限的一些方法三、连续函数的零点定理定理设f(x)在[a,b]连续，ξ∈(a,b)使得f(ξ

6、)=0且f(a)f(b)＜0，则必存在例题证明方程至少有一个根介于1和2之间由零点定理知ξ∈(1,2)使得f(ξ)=0，得证。小结1、无穷小量和无穷大量2、求极限的一些方法四则运算法则，连续性，利用已知极限，恒等变形等3、零点定理