无穷小量,极限运算法则

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第五讲无穷小量与无穷大量极限的运算授课教师：王利平主要内容一.无穷小量及其运算性质二.无穷大量三.极限的运算法则一、无穷小量及其运算性质简言之,在某极限过程中,以0为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1在任何一个极限过程中,常值函数y=0均为无穷小量.1.无穷小量的定义定义2.函数的极限与无穷小量的关系分析反之亦然.由以上的分析,你可得出什么结论?由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无

2、穷小量.3.无穷小量的运算法则常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中,两个无穷小量之和仍是一个无穷小量.证证明:在某一极限过程中,无穷小量与有界量的积仍是一个无穷小量.证例2证证明有界量与无穷小量的乘积例3解二.无穷大量定义1.无穷大量的定义例4例5无穷大量是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量?当x时,函数sinx、cosx,是否为无穷大量？因为sinx、cosx是有界函数,所以在任何极限过程中它们都不是无穷

3、大量.(iii),(iv)自己画画图会更清楚.在某一极限过程中定理2.无穷大量与无穷小量的关系无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真3.无穷大量的运算性质在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.不是无穷大量是无穷大量例7两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察例8有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:结论:在某个极限过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.极限运算法则的理论依据依据无穷小量的运算法则

4、定理法则三.极限运算法则由此你能不能写出极限四则运算公式？1.极限运算法则设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限limf(x)、limg(x)存在,则2.复合函数的极限有什么问题没有？定理注意这个条件,缺了它定理不一定成立.解例1求求有理分式函数xx0的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算.???解例2因式分解解例3初等展开解例4有理化解例5*并由此证明其中,n,mN.求第二问怎么做？令则当x0时,y0,故下面证明.变量代换例6证明原式由即得所证.证解例7这是两个无穷大量相减的问题.我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.

5、(通分)解例8*有理化解例9或者用下面的方法利用无穷小量与无穷大量的关系涉及到两个无穷大量的差解例10所以,由复合函数求极限法则这类复合函数的极限通常可写成解例11*这是求幂指函数极限常用的方法:解例12问b取何值时,存在,并求其值.若由函数的极限与其左、右极限的关系,得b=2,,,例13*解